Алгебраїчна теорія чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія алгебраїчних чисел — це розділ теорії чисел, яка використовує методи абстрактної алгебри для вивчення цілих чисел, раціональних чисел та їх узагальнень. Теорія чисел виражається в термінах властивостей алгебраїчних об'єктів, таких як поля алгебраїчних чисел та кільця цілих чисел, кінцевих полів та полів функцій. Ці властивості допускають унікальну факторизацію, поведінку ідеалів і групи Галуа полів, можуть вирішити питання першорядного значення в теорії чисел такі, як-от існування рішень Діофантових рівнянь.

Історія алгебраїчної теорії чисел[ред. | ред. код]

Діофант[ред. | ред. код]

Початки теорії алгебраїчних чисел можна простежити до рівнянь Діофанта[1], названих на честь математика Александрії III століття Діофанта, який вивчав їх і розробив методи розв'язання деяких видів діофантових рівнянь. Типовою проблемою діофантових рівнянь є пошук двох цілих чисел x та y таких, що їх сума та сума їх квадратів дорівнюють двом заданим числам A і B, відповідно:

Діофантові рівняння вивчалися протягом тисячоліть. Наприклад, розв'язок квадратного рівняння Діофанта x2 + y2 = z2 даються піфагоровій трійці, спочатку вирішеними вавилонянами (близько 1800 до н. е.)[2]. Розв'язок лінійних діофантових рівнянь, наприклад 26x + 65y = 13, можна знайти за допомогою евклідового алгоритму (V століття до н. е.)[3].

Основною роботою Діофанта була арифметика, з якої вижила лише частина.

Ферма[ред. | ред. код]

Велика теорема Ферма була вперше вигадана П'єром де Ферма в 1637 році. До 1995 року не було видано жодних успішних доказів, незважаючи на зусилля безлічі математиків протягом 358 років. Нерозв'язана проблема стимулювала розвиток теорії алгебраїчних чисел у XIX столітті та доказ теореми модульності в ХХ столітті.

Гаус[ред. | ред. код]

Один з основоположних робіт теорії алгебраїчних чисел — Disquisitiones Arithmeticae[4](арифметичні дослідження) — це підручник теорії чисел, написаний латинською Карлом Фрідріхом Гауссом 1798 року, коли Карлу було 21 і вперше опубліковано 1801 року, коли йому було 24 роки. У цій книзі Гаусс об'єднує результати в теорії чисел, отримані математиками, такими як Ферма, Ейлер, Лагранж та Лежандр, і додає нові важливі результати. До публікації досліджень, теорія чисел полягала в зборі ізольованих теорем і припущень. Гаусс об'єднав роботу своїх попередників разом з власною оригінальною роботою в систематизовану структуру, заповнив прогалини, виправив недобросовісні докази та розширив тему по-різному.

Дослідження стали відправною точкою для роботи інших європейських математиків дев'ятнадцятого сторіччя, зокрема Ернста Кумера, Йогана Петера Густава Леджена-Дірихле та Річарда Дедекінда. Багато анотацій, наданих Гаусом, фактично є анонсуваннями його подальших досліджень, деякі з яких залишаються неопублікованими. Вони, здається, були особливо загадковими для сучасників; Тепер ми можемо їх прочитати як містять мікроорганізми теорій L-функцій та комплексного множення, зокрема.

Дірихле[ред. | ред. код]

У деяких документів 1838 та 1839 років Йоган Петер Густав Леджена-Дірихле довів формулу першого класу для квадратичних форм (пізніше його удосконалив його студент Леопольд Кронекер). Формула, яку Якобі називав результатом «торкаючись максимально людської схильності», відкрили шлях до подібних результатів щодо більш загальних чисельних полів. На основі його дослідження структури одиничної групи квадратичних полів він довів теорему Дірихле, фундаментальний результат в теорії алгебраїчних чисел[5].

Він вперше застосував принцип голубів і кліток, основний аргумент для підрахунку, в доказі теореми в діофантовому наближенні, згодом назвав його теорією наближення Дірихле. Він опублікував важливий внесок у останню теорему Ферма, за яку він довів випадки n = 5 і n = 14, а також закону дворівневої взаємності. Проблема дільника Дірихле, за яку він знайшов перші результати, все ще залишається невирішеною проблемою в теорії чисел, незважаючи на подальші вклади інших дослідників.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Stark, pp. 145—146.
  2. Aczel, pp. 14–15.
  3. Stark, pp. 44–47.
  4. Disquisitiones Arithmeticae at Yalepress.yale.edu
  5. Kanemitsu, Shigeru. Number theoretic methods: future trends. Springer. с. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4. 

Література[ред. | ред. код]

  • William Stein, «A Computational Introduction to Algebraic Number Theory»
  • Kenneth Ireland and Michael Rosen, «A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition», Springer-Verlag, 1990
  • Ian Stewart[en] and David O. Tall[en], "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, " A. K. Peters, 2002