Алгебраїчна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчна функція, також алгебрична функціяфункція, що задовольняє алгебраїчне рівняння.

Визначення і приклади[ред.ред. код]

Загалом, функція кількох змінних u =  f(x, y, z, \dots) зветься алгебраїчною в точці (x0, y0, z0, ..), якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівняння вигляду:

P_n(x, y, z, \dots) u^n + P_1(x,y,z, \dots)u^{n-1} + \dots + P_n (x, y, z, \dots) =0\,,

де P_0,  P_1, \dots, P_n\, це многочлени відносно x, y, z.

Наприклад, функція дійсної змінної F(x) = \sqrt{1-x^2} є алгебраїчною на інтервалі (-1,1) в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

\,\!F^2 + x^2 = 1.

Існує аналітичне продовження функції F(x) = \sqrt{1-x^2} на комплексну площину, з вирізаним відрізком [-1, 1] або з двома вирізаними променями (-\infty, -1] і [1,\infty). У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Алгебраїчні рівняння[ред.ред. код]

Рівняння виду

\,\!P(x_1,\ldots,x_n) = Q(x_1, \ldots, x_n),

де P і Q многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела інформації[ред.ред. код]