Алгебраїчні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа,підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен

де і f(α) = 0.

У даному визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади[ред.ред. код]

  • Всі раціональні числа є алгебраїчними: число є, наприклад, коренем рівняння b x - a = 0.
  • Уявна одиниця, число є алгебраїчним, як корінь рівняння x2 + 1 = 0.
  • Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
  • Якщо — алгебраїчні числа, тоді — трансцендентне число.
  • Числа і є алгебраїчними (кути в радіанах).
Цей факт випливає з тригонометричної рівності:
Тому якщо визначити послідовність многочленів:
то Звідси одержуємо:
тобто є коренем многочлена що й доводить твердження.
Для достатньо зазначити, що всі степені x в є парними і що

Мінімальний многочлен[ред.ред. код]

Якщо — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним . Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа .

  • Степінь мінімального многочлена називається степенем алгебраїчного числа .
  • Інші корені мінімального многочлена називаються спряженими до .
  • Висотою алгебраїчного числа називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого є коренем.

Мінімальний многолен числа має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли — ціле алгебраїчне число.

Приклади[ред.ред. код]

  • Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
  • Уявна одиниця так само як є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно та .
  • При будь-якому натуральному , є алгебраїчним числом -го степеня.

Поле алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α−1, а також сума α + β і добуток αβ також є алгебраїчними числами.

Доведення[ред.ред. код]

  • Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо f(x) — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена f(−x). Тобто -α — алгебраїчне число.
  • Якщо α — корінь многочлена то α-1 є коренем многочлена отже α-1 теж є алгебраїчним числом.
  • Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена і β є коренем многочлена . Нехай α1= α, α2, ..., αn — всі корені f(x) (враховуючи їх кратність, так що степінь f(x) рівний n) і нехай β1= β, β2, ..., βm — всі корені g(x). Розглянемо многочлен:
Множина є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти F(x) є симетричними многочленами від чисел α1= α, α2, ..., αn. Тому якщо, σ1, σ2, ..., σnелементарні симетричні многочлени від α1= α, α2, ..., αn і A — деякий коефіцієнт (при xk) многочлена F(x), тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ1, σ2, ..., σn, β1, β2, ..., βm) для деякого многочлена B з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти F(x) також є симетричними многочленами від чисел β1, β2, ..., βm. Нехай і σ1', σ2', ..., σm' — елементарні симетричні многочлени від β1= β, β2, ..., βm тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm') для деякого многочлена B' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому і оскільки α + β є коренем F(x) це число є алгебраїчним.
  • Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:

Властивості[ред.ред. код]

  • Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
  • Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
  • Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
  • Для довільного алгебраїчного числа існує таке натуральне , що ціле алгебраїчне число.
  • Алгебраїчне число степеня має різних спряжених чисел (включаючи саме число ).
  • і спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля , що переводить у .
  • В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
    • Теорема Ліувіля: якщо є коренем многочлена степінь якого рівний n, тоді існує число A залежне від α, що
для довільного раціонального числа
    • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел (a, b) де b > 0 для яких:

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
  • Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
  • Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
  • Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
  • Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність