Алгебра Хопфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра Хопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Хайнца Хопфа.

Алгебри Хопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли в зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебр. Алгебри Хопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Хопфа і проблем їх класифікації.

Означення[ред.ред. код]

Алгебра Хопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра H над полем разом з -лінійним відображенням (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:

antipode commutative diagram

Тут Δкодобуток біалгебри, — добуток алгебри, η — одиниця алгебри і εкоодиниця.

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:

.

Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить у означенні замінити поле на комутативне кільце ).

Означення алгебри Хопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Хопфа.

Структурні константи[ред.ред. код]

Зафіксувавши базис алгебри як векторного простору, алгебру Хопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:

для кодобутку:

для антипода:

Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності

для коасоціативності має виконуватися рівність

Також для структурних констав має бути

Властивості антипода[ред.ред. код]

В означенні алгебр Хопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченномірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, S є антигомоморфізмом [1], так S2 - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.

Якщо , то алгебра Хопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Хопфа). [2]

Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає у . [3]

Підалгебри Хопфа[ред.ред. код]

Підалгебра A алгебри Хопфа H є підалгеброю Хопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Хопфа A - це підпростір в алгебрі Хопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку і антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Хопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Хопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Хопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Хопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, для всіх h з H, де приєднане відображення задане як для всіх a з A і h з H. Підалгебра Хопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Хопфа.

Нормальна підалгебра Хопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: , де позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що — ідеал алгебри Хопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри і стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Хопфа і епіморфізм , аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. [4]

Приклади[ред.ред. код]

Залежить від Кодобуток Коодиниця Антипод Комутативність Кокомутативність Зауваження
Групова алгебра KG групи G Δ(g) = gg для всіх g з G ε(g) = 1 for all g in G S(g) = g−1 для всіх g з G тільки коли G є комутативною так
функції f зі скінченної [5] групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням) скінченна група G Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною
Функції представлення компактних груп Компактна група G Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Хопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).[6]
Регулярні функції на алгебричних групах Δ(f)(x,y) = f(xy) ε(f) = f(1G) S(f)(x) = f(x−1) так тільки якщо G є комутативною Навпаки, кожна комутативна алгебра Хопфа над полем одержується в такий спосіб іх групової схеми.[7]
Тензорна алгебра T(V) Векторний простір V Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(x) = 0 S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) Тільки якщо dim(V)=0,1 так Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Хопфа із відповідними означеннями
Універсальна обгортуюча алгебра U(g) Алгебра Лі g Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U) ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U) S(x) = −x тільки якщо g є комутативною так
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx. K — поле характеристика якого не рівна 2 Δ(c) = cc, Δ(x) = cx + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 ε(c) = 1 і ε(x) = 0 S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx ні ні Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Хопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними.
Кільце симетричних функцій[8] в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1):

Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1hk−1 + ... + hk−1h1 + hk ⊗ 1.

ε(hk) = 0 S(hk) = (−1)k ek так так


Когомології груп Лі[ред.ред. код]

Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Хопфа: множення задано -добутком, а кодобуток

множенням групи .

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Хопфа. Використовуючи цю структуру, Хопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.

Теорема Хопфа [9] Нехай A — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.

Квантові групи[ред.ред. код]

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ HH ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Хопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Хопфа часто називають квантовими групами.

Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Хопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Хопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Хопфа. Звідси назва «квантова група».

Аналогія з групами[ред.ред. код]

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що і алгебри Хопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:

  • кільце R замінюється множиною з 1 елемента
  • є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
  • є природний кодобуток (діагональне відображення)
  • одиниця — нейтральний елемент групи
  • множення — множення в групі
  • антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Хопфа над полем з одного елемента. [10]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153
  2. Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,
  3. [http: //www.mathematik.uni-muenchen. de/~ pareigis/Vorlesungen/98SS/Quantum_Groups/LN2_1.PDF Quantum groups lecture notes]
  4. S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
  5. Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм KGKG і KGxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, KGKG є власною підмножиною KGxG.
  6. Hochschild, G (1965). Structure of Lie groups. Holden-Day. с. 14–32. 
  7. Jantzen, Jens Carsten (2003). Representations of algebraic groups. Mathematical Surveys and Monographs 107 (вид. 2nd). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3527-2. , section 2.3
  8. Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83
  9. Hopf, 1941.
  10. Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar, Group objects and Hopf algebras, video of Simon Willerton.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebras. An introduction. Pure and Applied Mathematics 235 (вид. 1st). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9. Zbl 0962.16026. .
  • Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages
  • Fuchs, Jürgen (1992). Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X. Zbl 0925.17031. 
  • H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR4784, Zbl 0025.09303
  • Montgomery, Susan (1993). Hopf algebras and their actions on rings. Regional Conference Series in Mathematics 82. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029. 
  • Street, Ross (2007). Quantum groups. Australian Mathematical Society Lecture Series 19. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69524-4. MR 2294803. Zbl 1117.16031. .
  • Sweedler, Moss E. (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York. MR 0252485. Zbl 0194.32901. 
  • Underwood, Robert G. (2011). An introduction to Hopf algebras. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-72765-3. Zbl 1234.16022.