Алгебра над полем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Алгебра над полемвекторний простір, на якому введено білінійний добуток узгоджений з структурою векторного простору. Це означає, що алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а модулем над деяким кільцем. Приклади алгебр виникають у багатьох розділах математики і інших дисциплін.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція , що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких виконуються рівності:

  • .

Ці три властивості означають, що операція множення є білінійною. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:

Алгебра з одиницею над полем K — кільце з одиницею A, разом з гомоморфізмом кілець з одиницею , таким, що належить центру кільця A (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що A є векторним простором над K з наступною операцією множення на скаляр :

Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.

Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.

Пов'язані визначення[ред. | ред. код]

  • Гомоморфізм K-алгебр — відображення , для якого виконуються рівності:
  для всіх  
  для всіх  
  для всіх  
  • Підалгебра алгебри над полем K лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
  • Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
  • Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів і рівняння і має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
  • Центр алгебри А — множина елементів , таких що для будь-якого елемента .

Приклади[ред. | ред. код]

Асоціативні алгебри[ред. | ред. код]

  • Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
  • Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
  • Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
  • Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Групова алгебра в якій елементи групи є базисом векторного поля , що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з . На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група .

Неасоціативні алгебри[ред. | ред. код]

Структурні коефіцієнти[ред. | ред. код]

Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність , визначити деякий базис і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши структурних коефіцієнтів , що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:

Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.

Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є вільним модулем.

Приклад[ред. | ред. код]

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (, , ) відповідна таблиця множення задається як:

Структурні коефіцієнти визначені як: всі інші коефіцієнти рівні нулю.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0