Очікує на перевірку

Алгебрична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці алгебраїчна функція — це функція, яку можна визначити як корінь поліноміального (алгебраїчного) рівняння. Досить часто алгебраїчні функції являють собою алгебраїчні вирази із скінченною кількістю членів з використанням лише алгебраїчних операцій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до дробового степеня. Прикладами таких функцій є:

  • ,
  • ,
  • .

Однак деякі алгебраїчні функції не можна представити за допомогою скінченної кількості таких виразів (теорема Абеля — Руффіні). Таким прикладом є радикал Брінга — функція, що неявно визначається рівнянням

Точніше кажучи, алгебраїчною функцією степеня від однієї змінної є функція , яка неперервна на своїй області визначення і задовольняє поліноміальне рівняння:

де коефіцієнти поліноміальні функції від із цілими коефіцієнтами. Можна показати, що отримаємо той самий клас функцій, якщо коефіцієнти поліномів є алгебраїчними числами. Якщо ж в коефіцієнтах зустрічаються трансцендентні числа, то функція у загальному випадку не є алгебраїчною, але вона є алгебраїчною над полем, яке породжене цими коефіцієнтами.

Значення алгебраїчної функції для раціонального числа, а в загальному випадку для алгебраїчного числа, завжди є алгебраїчним числом. Іноді розглядають коефіцієнти , які є поліномами над кільцем , і тоді говорять про "алгебраїчні функції над кільцем ".

Функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною як, наприклад, у випадку , , , . Композиція трансцендентних функцій може дати алгебраїчну функцію: .

Оскільки поліноміальне рівняння степеня має до коренів (і рівно коренів над алгебраїчно замкненим полем, таким як поле комплексних чисел), то поліноміальне рівняння неявно визначає не одну функцію, а до функцій, які іноді також називаються гілками. Розглянемо для прикладу рівняння одиничного кола: . Воно визначає , але тільки з точністю до знаку; відповідно, маємо дві гілки: .

Алгебраїчна функція від змінних також визначається як функція , яка є розв'язком поліноміального рівняння з змінними

Зазвичай передбачається, що поліном має бути незвідним поліномом.Тоді існування алгебраїчної функції гарантується теоремою про неявну функцію. Формально, алгебраїчна функція з змінних над полем є елементом алгебраїчного замикання[en] поля раціональних функцій .

Визначення і приклади

[ред. | ред. код]

Загалом, функція кількох змінних зветься алгебраїчною в точці , якщо існує окіл цієї точки, де функція задовольняє рівняння вигляду:

,

де — многочлени відносно , , . Наприклад, функція дійсної змінної є алгебраїчною на інтервалі в полі дійсних чисел, оскільки вона задовольняє рівнянню

Існує аналітичне продовження функції на комплексну площину, з вирізаним відрізком або з двома вирізаними променями і . У цій області отримана функція комплексного змінного є алгебраїчною і аналітичною.

Алгебраїчні функції, що є многочленами або їх частками, називають раціональними; інші алгебраїчні функції називають ірраціональними.

Відомо, що якщо функція є алгебраїчною в точці, то вона є і аналітичною в даній точці. Зворотне невірно. Функції, що є аналітичними, але що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними функціями.

Алгебраїчні рівняння

[ред. | ред. код]

Рівняння виду

де і — многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Алгебраїчні функції від однієї змінної

[ред. | ред. код]

Вступ та огляд

[ред. | ред. код]

Неформальне визначення алгебраїчної функції дає ряд підказок про її властивості. Для інтуїтивного розуміння буде корисним розглядати алгебраїчні функції як функції, які можуть бути утворені звичайними алгебраїчними операціями: додаванням, множенням, діленням і добування кореня -го степеня. Це деяке надмірне спрощення; з огляду на фундаментальну теорему теорії Галуа алгебраїчні функції необов'язково виражаються у радикалах. По-перше, зауважимо, що будь-яка поліноміальна функція є алгебраїчною функцією, оскільки вона є просто розв'язком рівняння:

У більш загальному випадку, будь-яка раціональна функція є алгебраїчною, оскільки є розв'язком рівняння

Більше того, корінь -го степеня від будь-якого полінома є алгебраїчною функцією, оскільки є розв'язком рівняння

Неочікувано, але обернена функція для алгебраїчної функції є теж алгебраїчною функцією. Нехай є розв'язком рівняння

для кожного значення , тоді також є розв'язком цього рівняння для кожного значення . Дійсно, змінивши місцями та і згрупувавши доданки, отримуємо

Записавши як функцію від , отримаємо обернену функцію, яка є також алгебраїчною.

Однак не кожна функція має обернену. Наприклад, функція не проходить тест горизонтальної лінії[en], вона не є ін'єктивною. Оберненою є алгебраїчна "функція" . Інший спосіб зрозуміти це полягає в тому, що множина гілок поліноміального рівняння, що визначають нашу алгебраїчну функцію, є графіком алгебраїчної кривої.

Роль комплексних чисел

[ред. | ред. код]

З алгебраїчної точки зору комплексні числа цілком природно виникають при вивченні алгебраїчних функцій. Перш за все, згідно з фундаментальною теоремою алгебри, комплексні числа є алгебраїчно замкненим полем. Отже, будь-яке поліноміальне співвідношення гарантовано матиме принаймні один розв'язок (загалом, кількість розв'язків не перевищує степеня за змінною ) для в кожній точці , за умови, якщо може набувати як комплексних так і дійсних значень. Таким чином, проблеми пов'язані з областю визначення алгебраїчної функції сміливо можна мінімізувати.

Більше того навіть якщо у кінцевому рахунку когось цікавлять дійсні алгебраїчні функції, то може не виявитися способів виразити функцію у термінах додавання, множення, ділення та добування -го кореня без використання комплексних чисел (див. незвідний випадок). Наприклад, розглянемо алгебраїчну функцію, що визначається рівнянням

Використавши кубічну формулу, отримуємо

При квадратний корінь є дійсним і, таким чином, кубічний корінь є добре визначеним, що забезпечує наявність єдиного дійсного кореня. З іншого боку, при квадратний корінь не є дійсним, і для квадратного кореня потрібно вибрати будь-який недійсний квадратний корінь. Таким чином, кубічний корінь потрібно вибрати із трьох недійсних чисел. Якщо аналогічний вибір зробити у двох членах формули, то три випадки кубічного кореня забезпечують три гілки, показані на рисунку.

Можна довести, що неможливо виразити дану функцію у вигляді кореня -го степеня, використовуючи лише дійсні числа, навіть якщо отримана функція набуває дійсних значення на області показаного графіку.

Графік трьох гілок алгебраїчної функції , де , при .

На більш суттєвому теоретичному рівні застосування комплексних чисел дозволяє використовувати ефективні методи комплексного аналізу для дослідження алгебраїчних функцій. Зокрема, за допомогою принципу аргументу можна показати, що будь-яка алгебраїчна функція насправді є аналітичною функцією, принаймні в багатозначному розумінні.

Формально, нехай — комплексний поліном від комплексних змінних і . Припустимо, що таке значення, при якому поліном від змінної має різних нулів. Покажемо, що алгебраїчна функція є аналітичною в околі точки . Виберемо систему з кіл , що неперетинаються і містять кожен із цих нулів. Тоді за принципом аргументу

За неперервністю це є також справедливим для всіх в околі точки . Зокрема, має лише один корінь в , заданий основною теоремою про лишки:

яка є аналітичною функцією.

Монодромія

[ред. | ред. код]

Зауважимо, що вищенаведене доведення аналітичності дозволяє отримати вираз для системи з різних функціональних елементів , за умови, що не є критичною точкою полінома . Критична точка — це точка, в якій кількість різних нулів менша за степінь полінома , і це можливо лише там, де член з найвищим степенем полінома дорівнює нулю, а також дорівнює нулю дискримінант. Отже, існує лише скінченна кількість таких точок . За допомогою детального аналізу властивостей функціональних елементів поблизу критичних точок можна показати, що накриття монодромії[en] є розгалуженим[en] над критичними точками (і, можливо, точкою на нескінченності). Таким чином, голоморфне розширення функцій має в найгіршому випадку алгебраїчні полюси і звичайні алгебраїчні гілки над критичними точками.

Зауважимо, що поза критичними точками маємо

оскільки за визначенням є різними нулями полінома . Група монодромії діє шляхом перестановки коєфіцієнтів, і таким чином утворює монодромічне представлення групи Галуа полінома . Дія монодромії на універсальному накриваючому просторі є пов'язаним, але іншим поняттям у теорії поверхонь Рімана.)

Історія

[ред. | ред. код]

Ідеї, пов'язані з алгебраїчними функціями, з'явилися, принаймні, ще за часів Рене Декарта. Перше обговорення алгебраїчних функцій, мабуть, було в роботі Едварда Уорінга[en] 1794 року "An Essay on the Principles of Human Knowledge", в якій він пише:

"Нехай величина, що позначає ординату, є алгебраїчною функцією від абсциси , за допомогою звичайних методів ділення та добування коренів можна звести її до нескінченного ряду, який зростає або спадає відповідно до розмірності , а потім знайти інтеграл від кожного з отриманих членів".

Див. також

[ред. | ред. код]


Література

[ред. | ред. код]
  • Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
  • van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer.

Зовнішні посилання

[ред. | ред. код]

Джерела інформації

[ред. | ред. код]