Алгебричне розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебричне розширеннярозширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості[ред.ред. код]

Для всіх трансцендентних елементів елементи є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
  • Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо розширення F / L та L / K є алгебричні, то і розширення F / K алгебричне. Навпаки, якщо F / K алгебричне, то і L/ K та F/ L алгебричні.
Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
  • Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел , а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел , то одержимо поле алгебраїчних чисел A.
  • Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]