Алгебричне розширення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебричне розширеннярозширення поля \ L / K, кожен елемент \ \alpha якого є алгебричним над \ K, тобто існує многочлен \ f(x) з коефіцієнтами з \ K для якого \ \alpha є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості[ред.ред. код]

Для всіх трансцендентних елементів \ \alpha, елементи \ 1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
  • Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо розширення F / L та L / K є алгебричні, то і розширення F / K алгебричне. Навпаки, якщо F / K алгебричне, то і L/ K та F/ L алгебричні.
Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
  • Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]