Аналіз Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Сигнал струни бас гітари, що відіграє ноту A ("Ля" - 55 Гц).
Розподіл Фур'є часового сигналу звуку бас гітари для відкритої струни A (55 Гц). Аналіз Фур'є дозволяє виявити коливальні компоненти сигналів і функцій.

В математиці, аналіз Фур'є це наука, що вивчає яким чином загальні математичні функції можуть бути представлені або апроксимовані через суму більш простих тригонометричних функцій. Аналіз Фур'є виник із вивчення властивостейряду Фур'є, і названий в честь Джозефа Фур'є, який показав, що представлення функції у вигляді суми тригонометричних функцій значно спрощує вивчення процесу теплообміну.

Сьогодні, предметом аналізу Фур'є є широкий спектр математичних задач. В науці і техніці, процес декомпозиції функції на коливальні компоненти часто називають аналізом Фур'є, хоча оперування і відновлення функцій із таких частин відомо як синтез Фур'є. Наприклад, при визначенні які саме компоненти частот присутні в музичній ноті, застосовують розрахунки перетворення Фур'є вибраної музичної ноти. Після чого можна ре-синтезувати той самий звук використовуючи ті частотні компоненти, які виявив аналіз Фур'є. В математиці, термін аналіз Фур'є часто відноситься для вивчення обох цих операцій.

Процес декомпозиції сам по собі називається Перетворенням Фур'є.

Застосування[ред. | ред. код]

Аналіз Фур'є має багато застосувань в науці – в фізиці, диференційних рівняннях з частинними похідними, теорії чисел, комбінаториці, обробці сигналів, обробці цифрових зображень, теорії ймовірності, статистиці, експертизі, криптографії, чисельному аналізі, акустиці, океанографії, сонарах, оптиці, дифракції, геометрії, структурному аналізі білків, та інших областях.

Така широка застосованість зумовлена багатьма корисними властивостями перетворення:

При експертизі, при використанні лабораторних інфрачервоних спектрофотометрів застосовують аналіз перетворення Фур'є для вимірювання довжини хвилі світла при якій матеріал буде поглинати інфрачервоний спектр. Метод перетворення Фур'є використовується для декодування виміряних сигналів і запису даних про довжину хвилі. А при використанні комп'ютера, такі обчислення використовуються швидко, тому такий комп'ютерно-керований пристрій може видати спектр поглинання інфрачервоного випромінення за лічені секунди.[1]

Перетворення Фур'є також використовують для компактного представлення сигналу. Наприклад, алгоритм стиснення JPEG використовує модифікацію перетворення Фур'є (дискретне косинусне перетворення) для невеликих квадратних фрагментів цифрового зображення. Компоненти Фур'є кожного квадрату округлюються до меншої арифметичної точності, а не значними компонентами нехтують, тому компоненти, що залишилися можна зберігати дуже компактно. При реконструкції зображення, кожен квадрат відновлюється із збережених наближених компонентів перетворення Фур'є, які потім зворотно перетворюються для наближеного відновлення початкового зображення.

Варіанти аналізу Фур'є[ред. | ред. код]

(Неперервне) Перетворення Фур'є[ред. | ред. код]

Докладніше: Перетворення Фур'є

Найчастіше, не уточнений термін перетворення Фур'є застосовують до перетворення неперервних функцій дійсного аргументу, результатом якого є неперервна функція частоти, відома як розподілення частоти. Одна функція перетворюється на іншу, а сама операція є оберненою. Коли областю визначення вхідної (початкової) функції є час (t), а областю визначення вихідної (фінальної) функції є частотою, перетворення функції s(t) при частоті f задається наступним чином:

Розрахунок цієї величини при всіх значеннях f утворює функцію в частотній області. Тоді s(t) можна представити як рекомбінацію комплексних експонент для всіх можливих частот:

що є формулою для зворотнього перетворення. Комплексне число, S( f ), містить в собі одночасно амплітуду і фазу частоти f.

Ряд Фур'є[ред. | ред. код]

Докладніше: Ряд Фур'є

Перетворення Фур'є періодичної функції, sP(t), із періодом P, стає функцією що є гребінцем Дірака, модульованою послідовністю комплексних коефіцієнтів:

для всіх цілих значень k, і де P є інтегралом здовж будь-якого інтервалу довжиною P.

Зворотнє перетворення, відоме як ряд Фур'є, є представленням sP(t) в термінах суми потенційно нескінченного числа гармонійно пов'язаних синусоїд або комплексних експоненційних функцій, кожна з яких має амплітуду і фазу, що задана одним з коефіцієнтів:

Коли sP(t), задається як періодична сума[en] іншої функції, s(t):

коефіцієнти є пропорційними елементам S( f ) для дискретних інтервалів 1P:

[детальніше 1]

Достатньою умовою для відновлення s(t) (і таким чином S( f )) лише із цих елементів (тобто із ряду Фур'є) є те, що не нульовий відлік s(t) буде обмежений до відомого інтервалу довжиною P, із подвоєнням частотної області відповідно до теореми відліків Найквіста-Шеннона.

Дискретне перетворення Фур'є[ред. | ред. код]

Так само, як і ряд Фур'є, дискретне перетворення Фур'є є періодичним рядом sN[n] з періодом N, що є функцією Дірака, яка модулюється послідовністю комплексних коефіцієнтів:

де N — сума по всьому ряду n-их елементів із довжиною N.

Ряд S[k] і є тим, що є загальновідомим як дискре́тне перетво́рення Фур'є́ (ДПФ) для sN. Воно також має період N, тому зазвичай нема потреби обраховувати понад N коефіцієнтів. Обернене перетворення виглядає наступним чином:

де N — сума по всьому ряду k-елементів довжиною N.

Коли sN[n] задається у вигляді періодичної суми[en] іншої функції,

  а  

коефіцієнти є пропорційними значенням S1T( f ) для дискретних інтервалів 1P = 1NT:

[детальніше 2]

Дискретне перетворення Фур'є можливо розраховувати за допомогою алгоритму швидкого перетворення Фур'є (FFT), що робить можливим виконання його за допомогою комп'ютера.

Історія[ред. | ред. код]

Прості форми гармонійних рядів існували ще в стародавні часи вавилонських математиків, які вони використовували для розрахунку ефемерид (таблиця положення астрономічних тіл).[2][3][4][5]

Класична давньогрецька теорія астрономії про диферент та епіцикл з Геоцентричної системи Птолемея була певною мірою схожа в розрахунках із рядами Фур'є.

В сучасні часи, різновид дискретного перетворення Фур'є використовували Алексі Клеро 1754 року для розрахунку орбіт,[6][7] і Жозеф Лагранж 1759 року при розрахунку тригонометричних рядів при коливанні струни.[8] Детальніше, в роботі Клеро використовувалися лише косинусні ряди (різновид дискретного косинусного перетворення), а Лагранж використовував в роботі лише синусні ряди (різновид дискретного синусного перетворення); справжнє дискретне перетворення, що мало і синус і косинус, використовував у своїй роботі Гаусс 1805 року для задачі тригонометричної інтерполяції орбіт астероїдів.[9] Ейлер і Лагранж виконували дискретизування для задачі струни, що коливається, використовуючи для того вибірки.[8]

Перші сучасні дослідження в бік аналізу Фур'є було описано в статті 1770 року Réflexions sur la résolution algébrique des équations[en], автором якої був Лагранж, і який використав у своєму методі резольвентів Лагранжа[en] комплексне розкладання Фур'є для вивчення розв'язку кубічних рівнянь:[10]

Лагранж перетворив корені x1, x2, x3 на резольвенти:

де ζ це кубічний корінь з одиниці, що є дискретним перетворенням Фур'є третього порядку.

Ряд авторів, серед яких відомими є Жан Лерон д'Аламбер, і Карл Фрідріх Гаусс, використовували тригонометричні ряди для вивчення рівняння теплопровідності,[11] але проривом у розвитку цієї задачі була стаття Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides Жозефа Фур'є 1807 року, який запропонував важливу ідею змоделювати усі функції за допомогою тригонометричних рядів, і представив ряди Фур'є.

Виноски[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Saferstein, Richard (2013). Criminalistics: An Introduction to Forensic Science. 
  2. Prestini, Elena (2004). The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models of the Real World. Birkhäuser. с. 62. ISBN 978-0-8176-4125-2. 
  3. Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete Thoughts. Birkhäuser. с. 11. ISBN 978-0-8176-3866-5. 
  4. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (вид. 2nd). Dover Publications[en]. ISBN 978-0-486-22332-2. 
  5. Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias. Analyzing shell structure from Babylonian and modern times. arXiv:physics/0310126. 
  6. Terras, Audrey (1999). Fourier Analysis on Finite Groups and Applications. Cambridge University Press. с. 30. ISBN 978-0-521-45718-7. 
  7. Briggs, William L.; Henson, Van Emden (1995). The DFT: An Owner's Manual for the Discrete Fourier Transform. SIAM. с. 4. ISBN 978-0-89871-342-8. 
  8. а б Briggs, William L.; Henson, Van Emden (1995). The DFT: An Owner's Manual for the Discrete Fourier Transform. SIAM. с. 2. ISBN 978-0-89871-342-8. 
  9. Heideman, M. T.; Johnson, D. H.; Burrus, C. S. (1984). Gauss and the history of the fast Fourier transform. IEEE ASSP Magazine 1 (4): 14–21. 
  10. Knapp, Anthony W. (2006). Basic Algebra. Springer. с. 501. ISBN 978-0-8176-3248-9. 
  11. Narasimhan, T. N. (February 1999). Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections (PDF). Reviews of Geophysics (New York: John Wiley & Sons) 37 (1): 151–172. ISSN 1944-9208. OCLC 5156426043. doi:10.1029/1998RG900006. 

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]