Аналіз функцій дійсної змінної

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Сума перших чотирьох складових ряду Фур'є для квадратної хвилі (меандру). Ряди Фур'є є одним із важливих інструментів аналізу функцій дійсної змінної.

Аналіз функцій дійсної змінної — галузь математичного аналізу, що вивчає дійсні числа і функції дійсних змінних і дійсних значень. Зокрема, вона займається аналітичними властивостями дійсних функцій і послідовностей, а також досліджує збіжність і границі послідовностей дійсних чисел, численням дійсних чисел, і поняттями неперервності, гладкості і іншими пов'язаними властивостями функції дійсних значень.

Сфера застосування[ред. | ред. код]

Конструктивні способи побудови дійсних чисел[ред. | ред. код]

Теореми із галузі аналізу функцій дійсної змінної покладаються безпосередньо на визначення структури ряду дійсних чисел. Система дійсних чисел складається із множини (), а також включає дві операції (+ і •) і впорядкування (<), і, формально кажучи, є впорядкованою четвіркою, що складається із цих об'єктів: . Існує декілька способів формалізації поняття системи дійсних чисел. Синтетичний підхід визначає список аксіом для дійсних чисел, що є повним[en] впорядкованим полем. Зокрема, властивість повноти відрізняє дійсні числа від інших впорядкованих полів (наприклад, від раціональних чисел ) і є критично важливим для доведення декількох основних властивостей функцій дійсних значень. Повнота дійсних чисел часто виражається як властивість існування точної верхньої (нижньої) межі[en] (vide infra).

Властивості впорядкованих дійсних чисел[ред. | ред. код]

Дійсні числа мають декілька важливих властивостей, що стосуються впорядкованих ґраток, які не властиві комплексним числам. Найбільш важливою властивістю, є те що дійсні числа утворюють впорядковане поле, в якому операції додавання і множення зберігають позитивність. Крім того, дійсні числа це лінійно впорядкована множина, в вони мають точну верхню (нижню) межі[en]:

Кожна не пуста підмножина множини що має верхню межу, має найменшу верхню межу, що також є дійсним числом.

Ці теоретичні властивості впорядкування дозволяють отримати ряд важливих результатів, такі як теорема Леві про монотонну збіжність, Теорема Больцано — Коші і Теорема Лагранжа.

Однак, хоча результати даного аналізу отримані для області дійсних чисел, багато з них можна застосувати і для інших математичних об'єктів. Зокрема, багато ідей в функціонального аналізу і теорії операторів узагальнюють властивості дійсних чисел.

Послідовність[ред. | ред. код]

Докладніше: Послідовність

Послідовність це функція областю якої є злічена, повністю впорядкована множина, що зазвичай задається натуральними або цілими числами.[1] Іноді зручно розглядати двонаправлені послідовності, що індексуються цілими числами, включаючи негативні індекси.

Областю інтересу аналізу функцій дійсних змінних є послідовність дійсних значень, індексована в даному випадку натуральними числами, що є мапою . Кожний називають термом (або, рідше елементом) послідовності. Послідовність рідко позначається явним чином як функція; замість того, загальноприйнятим майже завжди є, позначати її як впорядкований ∞-кортеж, із указанням окремих термів або загального терму вказаного у дужках:

.[2]

Послідовність яка збігається до деякої границі (i.e., exists) називається збіжною; в протилежному випадку, вона називається розбіжною. Послідовність дійсних значень буде обмеженою яке існує таке, що для всіх . Послідовність дійсних значень буде монотонно зростати або зменшуватися якщо

або

будуть здійснюватися, відповідно. Якщо виконується одна із зазначених умов, послідовність називається монотонною.

Границі та збіжність[ред. | ред. код]

Докладніше: Границя

Границя — це значення, до якого "наближається" функція або послідовність, коли вхідне значення або індекс наближається деякого значення.[3] Ліміти є важливим поняттям численняматематичного аналізу загалом) і використовувалися для визначення неперервності функцій, похідної, і інтеграла. По суті, числення початково визначалося як наука, що вивчає границі і граничні процеси.

Поняття границі вперше запропонував Коші, а більш строгим його зробили Бернард Больцано і Карл Веєрштрас. Це поняття дозволило вивчати числення Ньютона і Лейбніца у більш логічний послідовний спосіб, і в кінцевому рахунку дало початок існування математичного аналізу як дисципліни. Сучасне ε-δ визначення границі функції дійсної змінної приведене нижче.

Визначення. Нехай є функцією дійсних значень визначеною для області . Будемо говорити, що наближається до при що прямує до , або що границею функції при , що прямує до є якщо, для будь-якого , існує таке , що для всіх , буде здійснюватися . Запишемо це символічно у вигляді

, або .

В більш інтуїтивно зрозумілому вигляді, це визначення можна представити наступним чином: Скажемо що при , тоді ми завжди можемо знайти таке додатне число , що при будь-якому даному додатному числі (не важливо наскільки малим воно є), ми можемо бути впевнені, що і є меншими за , доки (в області функції ) є дійсним числом що менше ніж що далі від але є відмінною від . Метою останньої умови, що відповідає виконанню умови у даному визначенні, є гарантування того, що ніяк не зв'язано із самим значенням . Насправді, не обов'язково повинно бути в області значень для того, щоб границя існувала.

Поняття границі також тісно зв'язане із поведінкою послідовностей при що стає нескінченно великим.

Визначення. Нехай є послідовністю дійсних значень. Будемо говорити, що збігається до якщо, для будь-якого , існує натуральне число таке що при якому виконується . Запишемо це у символьній формі наступним чином

, або ;

Якщо не збігається, говорять, що послідовність є розбіжною.

Неперервність[ред. | ред. код]

Функція, що є перетворенням змінних із множини дійсних чисел у дійсні числа може бути представлена у вигляді графіку у Декартовій площині; така функція буде неперервною якщо, грубо кажучи, її графік буде суцільною не розірваною кривою без "розривів" чи ділянок, направлених у нескінченність.

Існує декілька представлень, що роблять це припущення математично точним. Можна привести декілька різних визначень із різного рівня узагальнення. У випадку коли можливо застосувати два або більше визначень, можна показати що вони є еквівалентними одне одному, тому для визначення неперервна функція чи ні можна використовувати будь-яке з них, яке зручніше. У першому визначенні, що приведене нижче, є функцією, що визначена у невиродженому інтервалі із множини дійсних чисел що є її областю визначення. Однією із можливих ситуацій є , що є всією множиною дійсних чисел, відкритий інтервал або закритий інтервал Тут, і є відмінними дійсними числами, а випадки із пустим або такою, що складається із однієї точки, виключається.

Визначення. Якщо - невироджений інтервал, говоримо що є неперервною для якщо . math>f</math> називають неперервним відображенням якщо є неперервною для кожної .

На відміну від вимоги існування границі в точці для функції for , яка ніяк не обмежує поведінку в самій точці , окрім існування , повинні здійснюватися наступні дві умови, для того, щоб була неперервною в : (i) повинна бути визначена в точці , тобто, це точка в області визначення функції ; і (ii) при . Приведене визначення насправді застосовується для будь-якої області , яка не містить ізольованої точки.

Ряди[ред. | ред. код]

Докладніше: Ряд (математика)

Дана (нескінченна) послідовність , ми можемо визначити асоціативний ряд як формальний математичний об'єкт , що іноді записують простіше у вигляді . Часткові суми ряду є числами, що задаються як . Говорять, що ряд є збіжним якщо послідовність, що складається із його часткових сум, , є збіжною; в іншому випадку ряд є розбіжним. Сума збіжних рядів задається у вигляді .

Варто підкреслити, що слово "сума", що використовується тут варто розуміти в метафоричному сенсі як поняття границі послідовності часткових сум і не повинно інтерпретуватися як просто "додавання" нескінченного числа елементів. Наприклад, на відміну від поведінки скінченних сум, перевпорядкування елементів в нескінченній сумі може привести до того, що результат збіжності буде різним (більш детально це розглядає теорема Рімана про умовно збіжний ряд).

Прикладом збіжних рядів є геометричні ряди, які є основою для одно із відомого парадоксу Зенона:

.

На відміну від того, гармонічний ряд був відомий із часів середньовіча і є розбіжним рядом:

.

(Тут, "" є прийнятим позначенням, що вказує на те що часткові суми ряду збільшуються без обмеження.)

Говорять, що ряд є абсолютно збіжним, якщо збіжною є сума .

Ряд Тейлора[ред. | ред. код]

Докладніше: Ряд Тейлора

Ряд Тейлора функції ƒ(x) дійсних або комплексних значень, що є неперервно-диференційованою функцією для дійсного або комплексного числа a є степеневим рядом

який можна записати в більш компактній сигма нотації наступним чином:

де n! означає факторіал по n і ƒ (n)(a) позначає nпохідну функції ƒ розраховану в точці a. Похідна нульового порядку для ƒ позначається як сама функція ƒ і (xa)0 та 0! обидва визначені як так, що дорівнюють 1. У випадку коли a = 0, також називається рядом Маклорена.

Ряд Фур'є[ред. | ред. код]

Ряд Фур'є дозволяє розкласти періодичні функції або періодичні сигналу у суму (можливо нескінченну), що складається із набору простих періодичних функцій, зокрема функцій синусу і косинусу (або комплексних компонент). Вивчення рядів Фур'є є задачею аналізу Фур'є.

Диференціювання[ред. | ред. код]

За формальним визначенням, похідною функції f в точці a є границя

Якщо похідна існує по всій області визначення функції, така функція є диференційованою. Повторивши процес декілька разів, можна отримати похідні вищих порядків.

Функції можна класифікувати за їхнім класом диференціювання. Клас C0 містить усі неперервні функції. Клас C1 складається з усіх диференційованих функцій, які мають неперервну похідну; такі функції називають неперервно диференційованими.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  2. Some authors (e.g., Rudin 1976) use braces instead and write . However, this notation conflicts with the usual notation for a set, which, in contrast to a sequence, disregards the order and the multiplicity of its elements.
  3. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (вид. 6th). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.