Аналітичний многовид

Аналіти́чний многови́д — це многовид з аналітичними функціями переходу.

Загальний опис

Топологічний многовид $M$ вимірності $n$ є дійсним аналітичним многовидом, якщо він має атлас $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}$, $\alpha \in A$, такий, що функції переходу $\phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ — дійсно-аналітичні для всіх $\alpha ,\beta \in A$ з $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \emptyset$. Такий атлас називається аналітичним. $M$ є комплексним (аналітичним) многовидом вимірності $n$, якщо для локальних карт $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {C} ^{n}$ функції переходу $\phi _{\alpha }^{\beta }$ — голоморфні відображення.

Аналітичний многовид — те саме, що аналітичний простір, усі точки якого неособливі. Комплексний многовид вимірності 1 називається рімановою поверхнею.

Приклади

• Дійсний проективний простір $\mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\})/\sim$, де $x\sim y\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$, якщо $y=\lambda x$ для деякого $\lambda \in \mathbb {R} ^{\times }$. Клас еквівалентності точки $x=(x_{1},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ позначимо $[x_{1}:\dots :x_{n+1}]\in \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}$. Атлас для $\mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}$ може складатись з $n+1$ карти, індексованих $1\leq j\leq n+1$: відкритих множин $U_{j}=\{[x_{1}:\dots :x_{j}:\dots :x_{n+1}]\mid x_{j}\neq 0\}$, гомеоморфізмів $\phi _{j}:U_{j}\to \mathbb {R} ^{n}$, $\phi _{j}[x_{1}:\dots :x_{j}:\dots :x_{n+1}]=(x_{1}/x_{j},\dots ,x_{j-1}/x_{j},x_{j+1}/x_{j},\dots ,x_{n+1}/x_{j})$, це визначає функції переходу $\phi _{j}^{i}(y_{1},\dots ,y_{n})=(y_{1}/y_{i},\dots ,y_{i-1}/y_{i},y_{i+1}/y_{i},\dots ,y_{j-1}/y_{i},1/y_{i},y_{j}/y_{i},\dots ,y_{n}/y_{i})$ для $i<j$ і подібні для $i>j$. Оскільки $\mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}$ є ізоморфним $S^{n}/\{1,-1\}$, він є компактним многовидом.

• Комплексний проективний простір — комплексний компактний многовид $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\})/\sim$, визначається аналогічно дійсному.

Оскільки функції переходу алгебричні, то $\mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}$ і $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}$ є алгебричними многовидами.

Властивості

Будь-який компактний аналітичний підпростір комплексного многовиду $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}$ є алгебричною підмножиною, тобто множиною спільних нулів сім'ї однорідних поліномів з $\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n+1}]$ (теорема Чжоу).

Поле $K(X)$ мероморфних функцій на компактному комплексному многовиді $X$ вимірності $n$ має степінь трансцендентності $\mathrm {deg\,tr} \,K(X)\leq n$ над $\mathbb {C}$ (теорема Зігеля).

Якщо $\mathrm {deg\,tr} \,K(X)=n$, то такий $X$ називається многовидом Мойшезона. Для ґратки загального положення $\Lambda \subset \mathbb {C} ^{n}$, $\Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2n}$, $n\geq 2$, комплексний тор $X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda$ не є многовидом Мойшезона, оскільки $K(X)=\mathbb {C}$.

Кожен келерів многовид Мойшезона є проективним алгебричним, тобто допускає вкладення в проективний простір як алгебрична підмножина (теорема Мойшезона).

Див. також

• Ріманів многовид
• Диференційовний многовид
• Комплексний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Hartshorne R., Algebraic geometry, Graduate texts in mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1977.