Аналітичний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.

Загальний опис[ред. | ред. код]

Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка має відкритий окіл U, для якого ізоморфний деякій аналітичній множині , отриманій з когерентного пучка ідеалів голоморфних функцій у деякій області B. Зокрема, є когерентним пучком локальних -алгебр. Наприклад, коли для всіх обраних U, то і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом. Якщо для локальної моделі маємо — когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною пов'язує , то аналітичний простір називається зведеним. Оскільки вкладається в пучок неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору . Для кожного пучка комутативних кілець на X позначимо його нільрадикал, а саме: — ідеал нільпотентних елементів в , . Для зведеного аналітичного простору маємо . Для довільного аналітичного простору визначимо його зведення як , де .

Морфізми аналітичних просторів[ред. | ред. код]

Морфізми аналітичних просторів — це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари , де неперервне відображення топологічних просторів, а - гомоморфізм пучків -алгебр. Наприклад, для довільного аналітичного простору морфізм зведення складається з тотожного відображення і канонічної проекції . є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і є природним перетворенням. Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення , таке, що для кожної точки і кожного , що розглядається як паросток неперервної функції, паросток належить .

Властивості[ред. | ред. код]

Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням. Для йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо. Властивість притаманна лише алгебрично замкненим полям k. Тому у випадку лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом. Крім того, структурний пучок на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.

Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів визначаються як носії для когерентного пучка ідеалів . Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай Aзамкнена підмножина X і для довільної точки існують такий окіл в X і такі елементи , що . Тут f(x) визначена як . Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм для когерентного ідеалу , де U відкрита в X. Наприклад, множина S особливих точок (тих, що не є регулярними) аналітична.

Для кожної точки аналітичного простору стебло є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю нетерової алгебри збіжних рядів від m змінних. Скінченнопороджений модуль M над має вимірність Шевале , це найменша довжина d набору , \dots, (максимальний ідеал ) такого, що — скінченновимірний k-векторний простір. Зокрема, . Глобальна вимірність X - це . Для незвідної аналітичної множини A функція постійна на A (і приймає значення ). У кодотичного простору вимірність . Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл такий, що локальна модель ізоморфна області в . Ця умова еквівалентна рівності . Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність щонайменше 1 в кожній точці . Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли Xаналітичний многовид. Якщо , для достатньо малої і відповідної локальної моделі топологічна вимірність .

Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин та . Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин таких, що (1) сім'я локально скінченна в X; (2) для кожної пари , , перетин ніде не щільний в . Множини називаються незвідними компонентами множини A.

Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна — такі, що для кожного когерентного пучка -модулів маємо при . Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові для кожного когерентного пучка ідеалів . Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення . Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Велика українська енциклопедія
  • Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.
  • Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.
  • Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.
  • Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.