Апроксимація Паде

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає в поданні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначаються коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання

то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти і і отримати апроксимант

Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося в фундаментальний метод дослідження.

Історія[ред.ред. код]

Авторство Паде ґрунтується на його дисертації 1892 [1] (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Апроксимант Паде[ред.ред. код]

Нехай є розкладання функції у степеневий ряд Тейлора:

, де — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

розкладання якої в ряд Макларена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції до тих пір, поки це можливо. Функція такого виду має коефіцієнтів в чисельнику і — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначається з точністю до спільного множника, для визначенності нехай . Тоді маємо незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Макларена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для , тобто для формального ряду виконується

Узагальнення[ред.ред. код]

  • Багатоточкові апроксимації Паде[2][3]
  • Апроксимації Бейкера-Гаммеля[3]
  • Апроксимація функції декількох змінних[3]
  • Матричні апроксимації Паде[4]
  • Апроксимація Паде-Чебишева[3]
  • Апроксимація Паде-Фур'є[3]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnellesThèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892
  2. [1]
  3. а б в г д Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  4. Xu, Guoliang; Bultheel, Adhemar. Matrix Padé-approximation - definitions and properties, Linear Algebra and Its Applications, volume 137, pages 67-136, 1990

Джерела[ред.ред. код]

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). Section 5.12 Padé Approximants. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3rd). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • Saff, E.B.; Varga, Richard S. (1977). Pade and Rational Approximation: Theory and Applications.. Proceedings of an International Symposium Held at the University of South Florida (Academic Press). ISBN 0-12-614150-9. 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.