Арифметика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Підручник з арифметики Леонтія Магницького, 1703 рік

Арифме́тика (дав.-гр. ἀριϑμητική — мистецтво лічби, вчення про числа, від дав.-гр. αριθμός — число) — наука про числа, їх властивості й операції над ними[1][2].

Арифметика розглядає дії над цілими числами, вчить розв'язувати задачі, які зводяться до додавання, віднімання, множення і ділення цих чисел. Арифметику часто вважають першою сходинкою математики, знаючи яку можна вивчати складніші її розділи — алгебру, математичний аналіз тощо. Навіть цілі числа — основний об'єкт арифметики — відносять, коли розглядають їх загальні властивості і закономірності, до вищої арифметики, чи теорії чисел.

Предмет арифметики[ред.ред. код]

Предметом арифметики є числові множини, властивості чисел та дії над числами[2]. Їй також належать питання, пов'язані з технікою обрахунку, вимірюваннями[3], походженням та розвитком поняття числа[4]. Арифметика вивчає натуральні й раціональні числа, або дроби[5]. На базі аксіоматичної структури множин натуральних чисел здійснюється побудова інших числових множин, включаючи цілі, дійсні та комплексні числа, проводиться їх аналіз[4]. Інколи в рамках арифметики розглядають також кватерніони й інші гіперкомплексні числа. Разом з тим з теореми Фробеніуса випливає, що розширення поняття числа за межі комплексної площини без втрати якихось його арифметичних властивостей є неможливим[6][7].

До основних дій над числами належать додавання, віднімання, множення та ділення[2], рідше сюди відносять піднесення до степеня, добування кореня[3] й розв'язування чисельних рівнянь[8]. Історично список арифметичних дій також включали власне обчислення, подвоєння (крім множення), ділення на два й ділення з остачею (крім ділення), пошук суми арифметичної і геометричної прогресій[9]. Дж. Непер у своїй книзі «Логістичне мистецтво» розділив арифметичні дії за ступенями. На нижчому ступені перебувають додавання й віднімання, на наступному — множення й ділення, далі — піднесення до степеня й добування коренів[10]. Відомий методист І. В. Арнольд до операцій третього ступеня відносив також логарифмування[11]. Традиційно арифметикою називають виконання операцій над різними об'єктами, як то: «арифметика квадратичних форм», «арифметика матриць»[4].

Власне математичні розрахунки та вимірювання, що є необхідними для практичних потреб, такі як: пропорції, проценти тощо, відносять до нижчої або практичної арифметики[8], у той час як логічний аналіз поняття числа відносять до теоретичної арифметики[4]. Властивості цілих чисел, ділення їх на частини, побудова неперервних дробів є складовою частиною теорії чисел[4], яку тривалий час вважали вищою арифметикою[8]. Арифметика також є тісно пов'язаною з алгеброю, яка вивчає власне операції без врахування особливостей і властивостей чисел[4][5]. Такі арифметичні дії, як піднесення до степеня та добування коренів, є технічною частиною алгебри. З цієї точки зору, слідом за Ньютоном та Гаусом, алгебру прийнято вважати узагальненням арифметики[8][3]. Взагалі-то, чітких граней між арифметикою, елементарною алгеброю і теорією чисел не існує.

Як і інші академічні дисципліни, арифметика має справу з принциповими методологічними проблемами; для неї є необхідним дослідження питань несуперечності та повноти аксіом[8]. Логічними побудовами формальної системи предикатів і аксіом арифметики займається формальна арифметика[12].

Арифметика в школі[ред.ред. код]

Арифметика є також назвою шкільної дисципліни, яка знайомить з додатними раціональними числами, арифметичними діями з ними та деякими відомостями про подільність цілих чисел. Навчання арифметики розвиває логічне мислення дітей, їхню кмітливість, дає необхідну підготовку до практичної діяльності і дальшого вивчення математики й фізики. У середній школі вивчають також числа від'ємні раціональні, ірраціональні і алгебраїчні. Відповідні розділи теорії чисел прийнято об'єднувати в навчальну дисципліну вищої педагогічної школи під назвою теоретична арифметика.

Історія арифметики[ред.ред. код]

Арифметика і геометрія — давні супутники людини. Ці науки з'явилися тоді, коли виникла необхідність рахувати предмети, вимірювати земельні ділянки та час. Арифметика виникла в країнах стародавнього Сходу: Вавилоні, Китаї, Індії, Єгипті. Наприклад, єгипетський папірус Рінда (названий на ім'я його власника Г. Рінда) належить до ХХ ст. до н. е. Серед інших відомостей він містить розклад дробів на суму дробів з чисельником — одиницею (див. Єгипетські дроби), наприклад:

Математичні знання накопичені в країнах стародавнього Сходу розвивалися далі вченими давньої Греції. Історія зберегла імена багатьох вчених, які займалися арифметикою в античному світі: Анаксагор, Зенон, Евклід, Архімед, Ератосфен, Діофант. Особливо варто виділити ім'я Піфагора, Піфагорійці (учні й послідовники Піфагора) обожнювали числа, вважаючи, що в них міститься вся гармонія світу. Окремим числам і парам чисел приписувалися особливі властивості. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді ж було звернуто увагу на так звані досконалі числа, дружні числа тощо.

У стародавньому світі математиці бракувало зручної системи числення: єгипетська, грецька та римська системи числення були непозиційними. Позиційними були шумерсько-вавилонсько система (на основі числа 60) та система майя (на основі числа 20), хоча в них замість цифр використовувалась адитивна система із ліній та точок.

У середньовіччі розвиток арифметики також пов'язаний зі Сходом: Індією, арабським світом та Середньої Азії. Від індійців прийшли до нас десяткова система числення, сучасні цифри (використовувались в творах Аріабхата I (початок VI ст.)), нуль (Брамагупта VII ст.); від аль-Каші (XV ст.), що працював у Самаркандській обсерваторії Улугбека, — десяткові дроби.

Уперше в Європі арабські цифри були згадані у Вігіліанському кодексі в 976, хоча використання їх почалось із твору італійського вченого Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Книга абака» (1202), що ознайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і започаткував багато досліджень в арифметиці й алгебрі. Так завдяки розвитку торгівлі і впливу східної культури починаючи з XIII ст. підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Арифметика входила до семи вільних мистецтв, які викладалися у середньовічних університетах.

Водночас із винаходом книгодрукування (середина XV ст.) з'явилися перші друковані книги з математики. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії в 1478 році. У «Повній арифметиці» німецького математика Михаеля Штифеля (початок XVI ст.) вже є від'ємні числа та навіть ідея логарифмування. Приблизно з XVI ст. розвиток арифметики зливається з алгеброю. Значними подіями були праці Франсуа Вієта, у яких числа позначені літерами. Починаючи з цього часу основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри.

В XVI—XVII ст. найсприятливіші умови для розвитку науки склалися в західно-європейських країнах. Тут у зв'язку з розвитком алгебри входять у вжиток від'ємні числа, впроваджуються комплексні числа, відкриваються ланцюгові і, вдруге, десяткові дроби. Поступово поняття числа абстрагується від конкретних процесів лічби певних предметів та вимірювання, і числа вже не розглядаються як «іменовані». У XVIII ст. переважно завдяки дослідженням Леонарда Ейлера теорія чисел стає самостійною науковою дисципліною. В XIX ст. дослідження складних питань теорії чисел привели до значного узагальнення поняття цілого числа (Карл Гаусс, Ернст Куммер, Юліус Дедекінд, Є. І. Золотарьов) і певного завершення теорії подільності. У зв'язку з цим український математик Г. Ф. Вороний і німецький математик Герман Мінковський подали важливе узагальнення алгоритму ланцюгових дробів. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відома з початку століття, забезпечила їм права громадянства в алгебрі та математичному аналізі і стала основою дальших узагальнень. У свою чергу, сучасні теорії дійсного числа розроблено у зв'язку з потребами арифметики і математичного аналізу на основі властивостей раціональних чисел (Юліус Дедекінд, Георг Кантор, Карл Веєрштрас). Тільки в кінці XIX ст. досить повно розроблено аксіоматику натуральних чисел і дій з ними (в основному Джузеппе Пеано).

Загальний опис[ред.ред. код]

Основний об'єкт арифметики — число. Натуральні числа виникли з рахунку конкретних предметів. Минуло багато тисячоліть, перш ніж люди засвоїли, що два птахи, дві руки, двоє людей можна назвати одним і тим же словом — «два». Важливе завдання арифметики — навчитися абстрагуватися від форми предметів, їх розміру, кольору. Вже у Фібоначчі є задача: «Сім жінок йдуть у Рим. У кожної по 7 мулів, кожен мул несе по 7 мішків, в кожному мішку по 7 хлібів, в кожному хлібі 7 ножів, кожен ніж в 7 ножнах. Скільки всіх?» Для розв'язку цієї задачі підсумувати різні сутності, додати жінок до мулів, мішки до хлібів тощо. Розвиток поняття числа — поява нуля і від'ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, способи запису чисел (цифри, позначення, системи числення) — все це має багату і цікаву історію.

У арифметиці числа додають, віднімають, множать і ділять. Мистецтво швидко і безпомилково виконувати ці дії над будь-якими числами довго вважалося найважливішим завданням арифметики. У наш час усно чи на папері ми робимо лише найпростіші обчислення, а складніші — за допомогою обчислювальної техніки. Математичні операції можуть бути записані з використанням відповідних символів «+», «—», «×» і «÷» та знаку рівності "=", наприклад

3 + 4 × 5 = 23.

Записані таким чином арифметичні операції виконуються в певному порядку, який називають черговістю операцій — спочатку множення і ділення, а потім додавання і віднімання. Послідовність виконання операцій можна змінити за допомогою дужок.

Позиційна система числення дозволила спростити арифметичні операції операції, зводячи їх до дій із цифрами в одному розряді, тому практично для виконання обчислень досить пам'ятати результати операції додавання у межах 20, і табличку множення у межах 100.

Для подальшого спрощення арифметичних операції традиційно до винаходу калькуляторів використовувалися рахівниці, а для множення — логарифмічні лінійки.

Серед важливих понять, які запровадила арифметика, були пропорції та відсотки. Більшість понять і методів арифметики ґрунтується на залежностях між числами. У історії математики процес злиття арифметики і геометрії відбувався протягом багатьох століть. Можна чітко простежити «геометризацію» арифметики: складні правила і закономірності, виражені формулами, стають зрозумілішими, якщо вдається зобразити їх геометрично. Велику роль у самій математиці і її застосуваннях відіграє зворотний процес — переклад геометричної інформації на мову чисел (див. Графічні обчислення). В основі цього перекладу лежить ідея французького філософа і математика Рене Декарта визначення точок на площині координатами. Зрозуміло, до нього ця ідея вже використовувалася, наприклад у морській справі, коли треба було визначити місцезнаходження корабля, а також астрономії, геодезії. Але саме від Декарта і його учнів йде послідовне застосування мови координат. І в наш час при управлінні складними процесами (наприклад, польотом космічного апарата) воліють мати всю інформацію в вигляді чисел, які й обробляє обчислювальна машина.

Практична арифметика[ред.ред. код]

Практична сторона арифметики включає в себе методи, схеми і алгоритми для здійснення точних арифметичних дій, у тому числі використання лічильних машин та інших пристроїв, а також різні прийоми наближених обчислень, які з'явилися у зв'язку з неможливістю отримати точний результат при деяких вимірюваннях і дозволяють визначити його порядок, тобто перші значущі цифри[13].

Точні методи[ред.ред. код]

Починаючи з XV століття пропонувалися різні алгоритми для здійснення арифметичних операцій над багатозначними числами, які відрізняються характером запису проміжних обчислень[4]. Арифметичні алгоритми побудовані на чинній позиційній системі числення, коли будь-яке позитивне дійсне число єдиним способом може бути представлене у вигляді

де  — наступна цифра запису числа ,  — основа системи числення,  — кількість розрядів цілої частини числа .

Усі дії над числами використовують таблиці додавання і множення до десяти та основні арифметичні закони. Як ілюстрацію відомий популяризатор науки Ф. Клейн наводить такий приклад:

у якому використовуються розподільчий та сполучний закони[14].

Потреба у швидких і точних обчисленнях привела до створення найпростіших обчислювальних пристроїв: абака, суаньпаня, юпани або рахівниці. Наступним кроком було створення Вільямом Отредом у 1622 році логарифмічної лінійки, яка дозволила здійснювати множення і ділення[15].

Комп'ютерна арифметика[ред.ред. код]

Копія обчислювальної машини Шиккарда

Кнут вважав арифметичні дії «справою комп'ютерів»[16]. Перші обчислювальні машини, що дозволяли механізувати чотири арифметичні дії, були сконструйовані у XVII ст. «Арифметична машина» Шиккарда, як він сам її називав, була виготовлена у 1623 році. Операції додавання та віднімання проводились з використанням обертових циліндрів, спеціальні циліндри були також для множення та ділення. Кріме того, машина могла переносити десятки. Сумувальна машина Паскаля була розроблена ним у 1642 році для допомоги ьатькові у виконанні фінансових розрахунків. Вона мала той же принцип роботи, що і машина Шиккарда. Основну частину машини становив механізм перенесення десятків. Разом з тим ремеслене виготовлення таких машин все ще залишалось невигідним[17]. Спроби удосконалити арифмометр тривали усе XVIII ст., але лише у XIX ст. використання арифмометрів стало поширеним[18].

У XX ст. на зміну арифмометрам прийшли електронні обчислювальні машини. В основі їх роботи лежать алгоритми, що використовують найменшу кількість елементарних операцій для виконання арифметичних дій[4]. Комп'ютерна арифметика включає алгоритми виконання операцій над числами з рухомою комою, дробами та дуже великими числами[16].

Вимірювання[ред.ред. код]

Крім предметів, які підлягають обліку, існують предмети, які можна виміряти, в першу чергу це довжина і маса[19]. Як і при обліку, першими мірами довжини у людини були пальці рук. Згодом відстань почали вимірювати кроками, подвійними кроками, милями (тисяча подвійних кроків), стадіями. Крім того, для вимірювання довжини використовували лікті, долоні, сажні, дюйми. У різних регіонах встанавлювались свої системи мір, що рідко були кратними десяти[20]. Різноманіття мір, зокрема, дозволяло обходитись без використання дробів[21][22]. Торгова арифметика включала в собі вміння оперувати величинами (грошовими одиницями, одиницями мір і ваг) у недесятковій системі числення[23].

У кінці XVIII століття французьким революційним урядом започатковане запровадження метричної системи, в основі якої лежить десяткова система числення. Наразі, окрім мір часу і кута, усі інші одиниці мір пов'язані з десятковою системою[24].

Наближені методи[ред.ред. код]

Історично наближені обчислення виникли при пошуку довжини діагоналі одиничного квадрата, але набули поширення при переході до десяткової системи і використанні кінцевих десяткових дробів замість ірраціональних чисел і чисел, виражених нескінченним періодичним дробом[25].

Для оціночних обчислень використовують, у першу чергу, закони монотонності. Наприклад, щоб визначити порядок добутку , можно скористатись такою оцінкою [14].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. «Арифметика» в УРЕ
  2. а б в «Арифметика» в ЕСУ
  3. а б в MacDuffee C. C. Arithmetic. Encyclopædia Britannica. Архів оригіналу за 2012-05-28. Процитовано 2012-03-20. (англ.)
  4. а б в г д е ж и Виноградов И. М. Арифметика // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  5. а б Арифметика. Большая советская энциклопедия. Архів оригіналу за 2012-11-03. Процитовано 2013-01-20. 
  6. Арнольд, 1938, с. 3—5
  7. Понтрягин, 1986, с. 4—6
  8. а б в г д Арифметика, наука //Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  9. Беллюстин В. Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения // Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М. : Типография К. Л. Меньшова, 1909.
  10. Депман, 1965, с. 195—199
  11. Арнольд, 1938, с. 151—156
  12. Виноградов И. М. Арифметика формальная // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  13. Клейн, 1987, с. 35—36
  14. а б Клейн, 1987, с. 23—25
  15. Арифметика. Енциклопедія Кольєра. Архів оригіналу за 2013-02-01. Процитовано 2013-01-20. 
  16. а б Кнут, с. 216
  17. История математики, т. II, 1970, с. 66—67
  18. История математики, т. III, 1972, с. 42—45
  19. Клейн, 1987, с. 45—49
  20. Депман, 1965, с. 263—267
  21. Boyer & Merzbach, 2010, Arithmetic and logistic
  22. Арифметика, 1951, с. 57—71
  23. Кнут, с. 216, 221
  24. Депман, 1965, с. 275—285
  25. Клейн, 1987, с. 49—57

Література[ред.ред. код]

  • Арнольд І. В. Теоретична арифметика: навч. посіб. : пер. з рос.. — К. : Радянська школа, 1939. — 482 с.
  • Погребиський Й. Б. Арифметика : підручник для фізико-математичних факультетів учительських інститутів. — К., 1953. — 282 с.
  • Кужель О. В. Основи арифметики / О. В. Кужель. — К. : Радянська школа, 1965. — 129 с.
  • Бородін О.І. Теорія чисел / О.І. Бородін. — Вища школа. — К., 1970. — 275 с.
  • Дрозд Ю. А. Теорія алгебричних чисел [Текст] : навч. посіб. для студ. мех.-мат. ф-ту. — К. : Редакційно- видавничий центр "Київський ун-т", 1997. — 82 с. — ISBN 966-594-019-8.
  • Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М., 1940. — 200 с.
  • Кэджори Ф. История элементарной математики. Пер. с англ.. — Одесса, 1917.
  • Депман И. Я. История арифметики. — М. : Просвещение, 1965. — 400 с.
  • Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М. : Наука, 1987. — Т. I: Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
  • Кнут Д. Е. Искусство программирования. — М.. — Т. II. — 830 с.
  • Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М. : ЗАО Центрполиграф. — 543 с. — ISBN 9785952449787.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М. : Просвещение, 1975. — 199 с.
  • Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М. : Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант»).
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики / пер. с франц. А. И. Скопина под ред. А. В. Малышева. — М., 1972. — 184 с.
  • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.
  • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. II: Математика XVII столетия.
  • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1972. — Т. III: Математика XVIII столетия.