Арифметика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Підручник з арифметики Леонтія Магницького, 1703 рік

Арифме́тика (дав.-гр. αριθμός — число) — наука, що вивчає дії над цілими числами, вчить розв'язувати задачі, які зводяться до додавання, віднімання, множення і ділення цих чисел. Арифметику часто вважають першою сходинкою математики, знаючи яку можна вивчати складніші її розділи — алгебру, математичний аналіз тощо. Навіть цілі числа — основний об'єкт арифметики — відносять, коли розглядають їх загальні властивості і закономірності, до вищої арифметики, чи теорії чисел.

Арифметика в школі[ред.ред. код]

Арифметика є також назвою шкільної дисципліни, яка знайомить з додатними раціональними числами, арифметичними діями з ними та деякими відомостями про подільність цілих чисел. Навчання арифметики розвиває логічне мислення дітей, їхню кмітливість, дає необхідну підготовку до практичної діяльності і дальшого вивчення математики й фізики. У середній школі вивчають також числа від'ємні раціональні, ірраціональні і алгебраїчні. Відповідні розділи теорії чисел прийнято об'єднувати в навчальну дисципліну вищої педагогічної школи під назвою теоретична арифметика.

Історія арифметики[ред.ред. код]

Арифметика і геометрія — давні супутники людини. Ці науки з'явилися тоді, коли виникла необхідність рахувати предмети, вимірювати земельні ділянки та час. Арифметика виникла в країнах стародавнього Сходу: Вавілоні, Китаї, Індії, Єгипті. Наприклад, єгипетський папірус Рінда (названий на ім'я його власника Г. Рінда) належить до ХХ ст. до н. е. Серед інших відомостей він містить розклад дробів на суму дробів з чисельником — одиницею (див. Єгипетські дроби), наприклад:

\frac{2}{73} = \frac{1}{60} + \frac{1}{219} + \frac{1}{292} + \frac{1}{365}

Математичні знання накопичені в країнах стародавнього Сходу розвивалися далі вченими давньої Греції. Історія зберегла імена багатьох вчених, які займалися арифметикою в античному світі: Анаксагор, Зенон, Евклід, Архімед, Ератосфен, Діофант. Особливо варто виділити ім'я Піфагора, Піфагорійці (учні й послідовники Піфагора) обожнювали числа, вважаючи, що в них міститься вся гармонія світу. Окремим числам і парам чисел приписувалися особливі властивості. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді ж було звернуто увагу на так звані досконалі числа, дружні числа тощо.

У стародавньому світі математиці бракувало зручної системи числення: єгипетська, грецька та римська системи числення були непозиційними. Позиційними були шумерсько-вавилонсько система (на основі числа 60) та система майя (на основі числа 20), хоча в них замість цифр використовувалась адитивна система із ліній та точок.

У середньовіччі розвиток арифметики також пов'язаний зі Сходом: Індією, арабським світом та Середньої Азії. Від індійців прийшли до нас десяткова система числення, сучасні цифри (використовувались в творах Аріабхата I (початок VI ст.)), нуль (Брамагупта VII ст.); від аль-Каші (XV ст.), що працював у Самаркандській обсерваторії Улугбека, — десяткові дроби.

Уперше в Європі арабські цифри були згадані у Вігіліанському кодексі в 976, хоча використання їх почалось із твору італійського вченого Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Книга абака» (1202), що ознайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і започаткував багато досліджень в арифметиці й алгебрі. Так завдяки розвитку торгівлі і впливу східної культури починаючи з XIII ст. підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Арифметика входила до семи вільних мистецтв, які викладалися у середньовічних університетах.

Водночас із винаходом книгодрукування (середина XV ст.) з'явилися перші друковані книги з математики. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії в 1478 році. У «Повній арифметиці» німецького математика Михаеля Штифеля (початок XVI ст.) вже є від'ємні числа та навіть ідея логарифмування. Приблизно з XVI ст. розвиток арифметики зливається з алгеброю. Значними подіями були праці Франсуа Вієта, у яких числа позначені літерами. Починаючи з цього часу основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри.

В XVI—XVII ст. найсприятливіші умови для розвитку науки склалися в західно-європейських країнах. Тут у зв’язку з розвитком алгебри входять у вжиток від’ємні числа, впроваджуються комплексні числа, відкриваються ланцюгові і, вдруге, десяткові дроби. Поступово поняття числа абстрагується від конкретних процесів лічби певних предметів та вимірювання, і числа вже не розглядаються як «іменовані». У XVIII ст. переважно завдяки дослідженням Леонарда Ейлера теорія чисел стає самостійною науковою дисципліною. В XIX ст. дослідження складних питань теорії чисел привели до значного узагальнення поняття цілого числа (Карл Гаусс, Ернст Куммер, Юліус Дедекінд, Є. І. Золотарьов) і певного завершення теорії подільності. У зв’язку з цим український математик Г. Ф. Вороний і німецький математик Герман Мінковський подали важливе узагальнення алгоритму ланцюгових дробів. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відома з початку століття, забезпечила їм права громадянства в алгебрі та математичному аналізі і стала основою дальших узагальнень. У свою чергу, сучасні теорії дійсного числа розроблено у зв’язку з потребами арифметики і математичного аналізу на основі властивостей раціональних чисел (Юліус Дедекінд, Георг Кантор, Карл Веєрштрас). Тільки в кінці XIX ст. досить повно розроблено аксіоматику натуральних чисел і дій з ними (в основному Джузеппе Пеано).

Загальний опис[ред.ред. код]

Основний об'єкт арифметики — число. Натуральні числа виникли з рахунку конкретних предметів. Минуло багато тисячоліть, перш ніж люди засвоїли, що два птахи, дві руки, двоє людей можна назвати одним і тим же словом — «два». Важливе завдання арифметики — навчитися абстрагуватися від форми предметів, їх розміру, кольору. Вже у Фібоначчі є задача: «Сім жінок йдуть у Рим. У кожної по 7 мулів, кожен мул несе по 7 мішків, в кожному мішку по 7 хлібів, в кожному хлібі 7 ножів, кожен ніж в 7 ножнах. Скільки всіх?» Для розв'язку цієї задачі підсумувати різні сутності, додати жінок до мулів, мішки до хлібів тощо. Розвиток поняття числа — поява нуля і від'ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, способи запису чисел (цифри, позначення, системи числення) — все це має багату і цікаву історію.

У арифметиці числа додають, віднімають, множать і ділять. Мистецтво швидко і безпомилково виконувати ці дії над будь-якими числами довго вважалося найважливішим завданням арифметики. У наш час усно чи на папері ми робимо лише найпростіші обчислення, а складніші — за допомогою обчислювальної техніки. Математичні операції можуть бути записані з використанням відповідних символів "+", "—", "×" і "÷" та знаку рівності "=", наприклад

3 + 4 × 5 = 23.

Записані таким чином арифметичні операції виконуються в певному порядку, який називають черговістю операцій — спочатку множення і ділення, а потім додавання і віднімання. Послідовність виконання операцій можна змінити за допомогою дужок.

Позиційна система числення дозволила спростити арифметичні операції операції, зводячи їх до дій із цифрами в одному розряді, тому практично для виконання обчислень досить пам'ятати результати операції додавання у межах 20, і табличку множення у межах 100.

Для подальшого спрощення арифметичних операції традиційно до винаходу калькуляторів використовувалися рахівниці, а для множення - логарифмічні лінійки.

Серед важливих понятть, які запровадила арифметика, були пропорції та відсотки. Більшість понять і методів арифметики ґрунтується на залежностях між числами. У історії математики процес злиття арифметики і геометрії відбувався протягом багатьох століть. Можна чітко простежити «геометризацію» арифметики: складні правила і закономірності, виражені формулами, стають зрозумілішими, якщо вдається зобразити їх геометрично. Велику роль у самій математиці і її застосуваннях відіграє зворотний процес — переклад геометричної інформації на мову чисел (див. Графічні обчислення). В основі цього перекладу лежить ідея французького філософа і математика Рене Декарта визначення точок на площині координатами. Зрозуміло, до нього ця ідея вже використовувалася, наприклад у морській справі, коли треба було визначити місцезнаходження корабля, а також астрономії, геодезії. Але саме від Декарта і його учнів йде послідовне застосування мови координат. І в наш час при управлінні складними процесами (наприклад, польотом космічного апарата) воліють мати всю інформацію в вигляді чисел, які й обробляє обчислювальна машина.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.
  • Арнольд І. В. Теоретична арифметика. К., 1939;
  • Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953;
  • Беллюстин В. К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М., 1940;
  • Кэджори Ф. История элементарной математики. Пер. с англ. Одесса, 1917.