Арифметична геометрія
| Геометрія |
|---|
 |
| Історія |
 Категорія •  Портал |
У математиці арифметична геометрія — це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел[1]. Арифметична геометрія зосереджена навколо діофантової геометрії, вивчення раціональних точок алгебричних многовидів[2][3].
В абстрактніших термінах арифметичну геометрію можна визначити як дослідження схем скінченного типу[en] над спектром кільця цілих чисел.
Класичним об'єктом інтересу в арифметичній геометрії є раціональні точки: множини розв'язків системи поліноміальних рівнянь[en] над числовими полями, скінченними полями, p-адичними полями або функціональними полями[en], тобто полями, які не є алгебрично замкнутими, за винятком дійсних чисел. Раціональні точки можна безпосередньо схарактеризувати функціями висоти[en], які вимірюють їх арифметичну складність[4].
Структура алгебричних многовидів, визначених над неалгебрично замкнутими полями, стала центральною сферою інтересів, яка виникла з розвитком алгебричної геометрії. Етальна когомологія[en] забезпечує топологічні інваріанти[en] над скінченними полями, пов'язані з алгебричними многовидами[5]. p-Адична теорія Ходжа[en] дає інструменти для дослідження того, коли когомологічні властивості многовидів над комплексними числами поширюються на многовиди над p-адичними полями[6].
На початку XIX століття Карл Фрідріх Гаусс зауважив, що ненульові цілі розв'язки однорідних поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами існують, якщо існують ненульові раціональні розв'язки[7].
У 1850-х роках Леопольд Кронекер сформулював теорему Кронекера — Вебера, представив теорію дивізорів і встановив численні інші зв'язки між теорією чисел і алгеброю. Потім він сформулював свою «liebster Jugendtraum»[en] («найдорожча мрія юності»), узагальнення, яку пізніше Гільберт висунув у модифікованій формі як його дванадцяту проблему, яка окреслює мету змусити теорію чисел працювати лише з кільцями, які є частками кілець многочленів над цілими числами[8].
Наприкінці 1920-х років Андре Вейль продемонстрував глибокі зв'язки між алгебричною геометрією та теорією чисел у своїй докторській праці, яка привела до теореми Морделла — Вейля[en], яка демонструє, що множина раціональних точок абелевого многовиду є скінченнопородженою абелевою групою[9].
Сучасні основи алгебричної геометрії розробили на основі сучасної комутативної алгебри, включно з теорією нормування та теорією ідеалів, Оскар Зарицький та інші в 1930-х і 1940-х роках[10].
У 1949 році Вайль висунув знакові гіпотези Вейля про локальні дзета-функції алгебричних многовидів над скінченними полями[11]. Ці гіпотези заклали зв'язок між алгебричною геометрією та теорією чисел, що спонукало Александра Гротендіка в 1950-х і 1960-х роках переробити основи, використовуючи теорію пучків (разом із Жаном-П'єром Серром), а пізніше теорію схем[12]. 1960 року Бернард Дворк[en] довів одну з чотирьох гіпотез Вейля (раціональність локальної дзета-функції)[13]. Гротендік розробив теорію етальної когомології і до 1965 року довів дві гіпотези Вейля (разом із Майклом Артіном[en] і Жаном-Луї Вердьє[en])[5][14]. Останню з гіпотез Вейля (аналог гіпотези Рімана) остаточно довів 1974 року П'єр Делінь[15].
Між 1956 і 1957 роками Ютака Таніяма[en] і Горо Шимура висунули гіпотезу Таніями — Шимури (тепер відому як теорема модулярності), яка пов'язує еліптичні криві з модульними формами[16][17]. Цей зв'язок, зрештою, приведе до першого доведення[en] великої теореми Ферма в теорії чисел за допомогою методів алгебричної геометрії (підняття модульності[en]), які 1995 року розробив Ендрю Вайлс[18].
У 1960-х роках Горо Шимура ввів многовиди Шимури[en] як узагальнення модулярних кривих[en][19]. Від 1979 року многовиди Шимури відіграють вирішальну роль у програмі Ленглендса[en] як природне джерело прикладів для перевірки припущень[20].
У статтях 1977 та 1978 років Баррі Мазур[en] довів торсійну гіпотезу[en], надавши повний список можливих торсійних підгруп еліптичних кривих над раціональними числами. Перше Мазурове доведення цієї теореми залежало від повного аналізу раціональних точок на деяких модулярних кривих[21][22]. 1996 року Лоїк Мерель[en] поширив доведення торсійної гіпотези на всі числові поля[23].
1983 року Герд Фалтінгс довів гіпотезу Морделла, продемонструвавши, що крива роду, більшого від 1, має лише скінченну кількість раціональних точок (де теорема Морделла — Вейля демонструє лише скінченне породження множини раціональних точок на відміну від скінченності)[24][25].
2001 року доведення локальних гіпотез Ленглендса для GLn[en] ґрунтувалося на геометрії деяких многовидів Шимури[26].
У 2010-х роках Петер Шольце розробив перфектоїдні простори[en] та нові теорії когомології в арифметичній геометрії над p-адичними полями із застосуванням до представлень Галуа[en] та деяких випадків гіпотези вагової монодромії[27][28].
- Арифметична динаміка[en]
- Арифметика абелевих многовидів[en]
- Гіпотеза Берча та Свіннертона-Даєра
- Модулі ріманової поверхні
- Модульний многовид Зігеля[en]
- Теорема Зігеля про цілочислові точки[en]
- Теорія категорій
- Фробеніоїд[en]
- ↑ Sutherland, Andrew V. (5 вересня 2013). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 березня 2019.
- ↑ Klarreich, Erica (28 червня 2016). Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. Процитовано 22 березня 2019.
- ↑ Poonen, Bjorn (2009). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 березня 2019.
- ↑ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. с. 43—67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- ↑ а б Grothendieck, Alexander (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. с. 103—118. MR 0130879.
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1967). Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France. Paris: 49—58.
- ↑ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. с. 1. ISBN 978-0125062503.
- ↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. с. 773—774. ISBN 978-0-691-11880-2.
- ↑ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
- ↑ Zariski, Oscar (2004). Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David (ред.). Algebraic surfaces. Classics in mathematics (вид. second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915.
- ↑ Weil, André (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497—508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1955). Faisceaux Algebriques Coherents. The Annals of Mathematics. 61 (2): 197—278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915.
- ↑ Dwork, Bernard (1960). On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631—648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494.
- ↑ Grothendieck, Alexander (1995). Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L. Séminaire Bourbaki. Т. 9. Paris: Société Mathématique de France. с. 41—55. MR 1608788.
- ↑ Deligne, Pierre (1974). La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (1): 273—307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258.
- ↑ Taniyama, Yutaka (1956). Problem 12. Sugaku (яп.). 7: 269.
- ↑ Shimura, Goro (1989). Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections. The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186—196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064.
- ↑ Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443—551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Архів оригіналу (PDF) за 10 травня 2011. Процитовано 22 березня 2019. [Архівовано 2011-05-10 у Wayback Machine.]
- ↑ Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
- ↑ Langlands, Robert (1979). Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen. У Borel (ред.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Т. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. с. 205—246.
- ↑ Mazur, Barry (1977). Modular curves and the Eisenstein ideal. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33—186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287.
- ↑ Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. Rational isogenies of prime degree. Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129—162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230.
- ↑ Merel, Loïc (1996). Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (фр.). 124 (1): 437—449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424.
- ↑ Faltings, Gerd (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (нім.). 73 (3): 349—366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
- ↑ Faltings, Gerd (1984). Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae (нім.). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
- ↑ Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. Т. 151. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802.
- ↑ Fields Medals 2018. International Mathematical Union. Процитовано 2 серпня 2018.
- ↑ Scholze, Peter. Perfectoid spaces: A survey (PDF). University of Bonn. Процитовано 4 листопада 2018.
