Архімедове тіло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ромбозрізаний ікосододекаедр є найбільшим архімедовим тілом за об'ємом (для одиничної довжини ребра), а також з найбільшою кількістю вершин і ребер.
Псевдоромбокубооктаедр має одну вершинну фігуру, 3.4.4.4, але з поворотом одного квадратного купола. На відміну від (не повернутого) ромбокубооктаедра, фігура не є вершинно транзитивною.

В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних багатокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу багатокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні багатокутні грані яких належать різним типам вершин.

Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається подовжений квадратний гіробікупол[ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому багатокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум[1] запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає гіробікупол[ru]).

Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою тетраедральної[ru], октаедральної[en] і ікосаедральної[ru] симетрій.

Походження назви[ред. | ред. код]

Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників[1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером[2], який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.

Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль[1].

Класифікація[ред. | ред. код]

Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).

Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних багатокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).

Назва
(альтернативна назва)
Шлефлі
Коксетер
Прозорий Непрозорий Розгортка Вершинна
фігура
Граней Ребер Вершин Об'єм
(за одинич-
ного ребра)
Група
точок
Зрізаний тетраедр {3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Зрізаний тетраедр
(Обертання)
Truncated tetrahedron.png Truncated tetrahedron flat.svg 3.6.6
Truncated tetrahedron vertfig.png
8 4 трикутники
4 шестикутники
18 12 2.710576 Td
Кубооктаедр
(ромботетраедр)
r{4,3} або rr{3,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png або CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
кубооктаедр
(Обертання)
Cuboctahedron.png Cuboctahedron flat.svg 3.4.3.4
Cuboctahedron vertfig.png
14 8 трикутників
6 квадратів
24 12 2.357023 Oh
Зрізаний куб t{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Зрізаний шестигранник
(Обертання)
Truncated hexahedron.png Truncated hexahedron flat.svg 3.8.8
Truncated cube vertfig.png
14 8 трикутників
6 восьмикутників
36 24 13.599663 Oh
Зрізаний октаедр
(зрізаний тетратераедр)
t{3,4} або tr{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png або CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Зрізаний октаедр

(Обертання)

Truncated octahedron.png Truncated octahedron flat.png 4.6.6
Truncated octahedron vertfig.png
14 6 квадратів
8 шестикутників
36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаедр
(малий ромбокубооктаедр)
rr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубооктаедр
(Обертання)
Small rhombicuboctahedron.png Rhombicuboctahedron flat.png 3.4.4.4
Small rhombicuboctahedron vertfig.png
26 8 трикутників
18 квадратів
48 24 8.714045 Oh
Зрізаний кубооктаедр
(великий ромбокубооктаедр)
tr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Зрізаний кубооктаедр
(Обертання)
Great rhombicuboctahedron.png Truncated cuboctahedron flat.svg 4.6.8
Great rhombicuboctahedron vertfig.png
26 12 квадратів
8 шестикутників
6 восьмикутників
72 48 41.798990 Oh
Кирпатий куб
(кирпатий кубоктаедр)
sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Плосконосий шестигранник (Ccw)
(Обертання)
Snub hexahedron.png Snub cube flat.svg 3.3.3.3.4
Snub cube vertfig.png
38 32 трикутники
6 квадратів
60 24 7.889295 O
Ікосододекаедр r{5,3}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Ікосододекаедр
(Обертання)
Icosidodecahedron.png Icosidodecahedron flat.svg 3.5.3.5
Icosidodecahedron vertfig.png
32 20 трикутників
12 п'ятикутників
60 30 13.835526 Ih
Зрізаний додекаедр t{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Зрізаний додекаедр
(Обертання)
Truncated dodecahedron.png Truncated dodecahedron flat.png 3.10.10
Truncated dodecahedron vertfig.png
32 20 трикутників
12 десятикутників
90 60 85.039665 Ih
Зрізаний ікосаедр t{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Зрізаний ікосаедр
(Обертання)
Truncated icosahedron.png Truncated icosahedron flat-2.svg 5.6.6
Truncated icosahedron vertfig.png
32 12 п'ятикутників
20 шестикутників
90 60 55.287731 Ih
Ромбоікосододекаедр
(малий ромбоікосододекаедр)
rr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоікосододекаедр
(Обертання)
Small rhombicosidodecahedron.png Rhombicosidodecahedron flat.png 3.4.5.4
Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
62 20 трикутників
30 квадратів
12 п'ятикутників
120 60 41.615324 Ih
Ромбозрізаний ікосододекаедр tr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбозрізаний ікосододекаедр
(Обертання)
Great rhombicosidodecahedron.png Truncated icosidodecahedron flat.svg 4.6.10
Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
62 30 квадратів
20 шестикутників
12 десятикутників
180 120 206.803399 Ih
Плосконосий додекаедр
(плосконосий ікосододекаедр)
sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Плосконосий додекаедр (Ccw)
(Обертання)
Snub dodecahedron ccw.png Snub dodecahedron flat.svg 3.3.3.3.5
Snub dodecahedron vertfig.png
92 80 трикутників
12 п'ятикутників
150 60 37.616650 I

Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр»[3].

Властивості[ред. | ред. код]

Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.

Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються квазіправильними[ru].

Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.

Хіральність[ред. | ред. код]

Плосконосий куб і плосконосий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).

Побудова архімедових тіл[ред. | ред. код]

Архімедові тіла можуть бути побудовані за допомогою положення генератора в калейдоскопі

Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання[ru] кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром багатокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. Розширення[ru] або скошування[ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.

Побудова архімедових тіл
Симетрія Тетраедральна
Tetrahedral reflection domains.png
Октаедральна[en]
Octahedral reflection domains.png
Ікосаедральна
Icosahedral reflection domains.png
Початкове тіло
Операція
Символ
{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Тетраедр
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
Куб
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png
Октаедр
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t2.png
Додекаедр
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t0.png
Ікосаедр
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t2.png
Зрізання (t) t{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
Зрізаний тетраедр
Uniform polyhedron-33-t01.png
Зрізаний куб
Uniform polyhedron-43-t01.png
Зрізаний октаедр
Uniform polyhedron-43-t12.png
Зрізаний додекаедр
Uniform polyhedron-53-t01.png
Зрізаний ікосаедр
Uniform polyhedron-53-t12.png
Повне зрізання (r)
Амвон (a)
r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
Тетратетраедр
Uniform polyhedron-33-t1.png
Кубооктаедр
Uniform polyhedron-43-t1.png
Ікосододекаедр
Uniform polyhedron-53-t1.png
Глибоке зрізання[en] (2t)
(dk)
2t{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Зрізаний тетраедр
Uniform polyhedron-33-t12.png
Зрізаний октаедр
Uniform polyhedron-43-t12.png
Зрізаний куб
Uniform polyhedron-43-t01.png
Зрізаний ікосаедр
Uniform polyhedron-53-t12.png
Зрізаний додекаедр
Uniform polyhedron-53-t01.png
Подвійне повне зрізання (2r)
Двоїстий (d)
2r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Тетраедр
Uniform polyhedron-33-t2.png
Октаедр
Uniform polyhedron-43-t2.png
Куб
Uniform polyhedron-43-t0.png
Ікосаедр
Uniform polyhedron-53-t2.png
Додекаедр
Uniform polyhedron-53-t0.png
Скошування (rr)
Розширення (e)
rr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Кубооктаедр
Uniform polyhedron-33-t02.png
Ромбокубооктаедр
Uniform polyhedron-43-t02.png
Ромбоікосододекаедр
Uniform polyhedron-53-t02.png
Плосконосе спрямлення (sr)
Спрямлення[en] (s)
sr{p, q}
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
Плосконосий тетратетраедр
Uniform polyhedron-33-s012.png
Кирпатий куб
Uniform polyhedron-43-s012.png
Плосконосий ікосододекаедр
Uniform polyhedron-53-s012.png
скіс-зрізання[en] (tr)
Скошування (b)
tr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Зрізаний октаедр
Uniform polyhedron-33-t012.png
Зрізаний кубооктаедр
Uniform polyhedron-43-t012.png
Ромбозрізаний ікосододекаедр
Uniform polyhedron-53-t012.png

Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедральную симетрію.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в Grünbaum, 2009.
  2. Field, 1997, с. 241—289.
  3. Malkevitch, 1988, с. 85.

Література[ред. | ред. код]

  • Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
  • Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
  • Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
  • Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Посилання[ред. | ред. код]