Асимптотичний розклад

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай функції задовольняють властивість: для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій , що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд: для якого виконуються умови

чи еквівалентно:

називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.

Цей факт позначається:

Асимптотичний розклад Ердеї[ред.ред. код]

Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність ,що

Цей факт позначається:

Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.

Приклади[ред.ред. код]


де числа Бернуллі і . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.
  • Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом є[1]:

Примітки[ред.ред. код]

  1. Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

Література[ред.ред. код]

  • Українська радянська енциклопедія : [у 12-ти т.] / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Голов. ред. УРЕ, 1974–1985.
  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М. : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 1103 с.
  • Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1968. — 464 с.
  • Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. — Rīga : Zinātne, 1974-1981. — 390+463+369 с.
  • Уиттекер Э., Ватсон Дж. Курс современного анализа. — М. : ГИФМЛ, 1963. — 344+516 с.
  • Харди Г. Расходящиеся ряды. — М. : ИЛ, 1951. — 504 с.
  • Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 128 с.
  • Bleistein N., Handlesman R. Asymptotic Expansions of Integrals. — N. Y. : Dover, 1975.