Атлас (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Атлас — поняття диференціальної геометрії, що дозволяють ввести гладку структуру на многовиді .

Визначення[ред.ред. код]

Нехай K — числове поле (наприклад \mathbb{R} або \mathbb{C}), Xтопологічний простір.

  • Карта — це пара (U,f), де
Uвідкрита множина в X
fгомеоморфізм з U у відкриту множину в K^n
  • Якщо області визначення двох карт \,(U_1,f_1) і \,(U_2,f_2) перетинаються (U_1 \cap U_2 \neq \emptyset), то між множинами f_1^{-1}(U_2) і f_2^{-1}(U_1) є взаємно обернені відображення (гомоморфізми), що називаються відображеннями склеюваннями :
    
\begin{matrix}
f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\
f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2)
\end{matrix}
  • Атлас — це множина узгоджених карт \,\{(U_\alpha,f_\alpha)\}, \alpha\in\mathcal A, така, що \,\{U_\alpha\} утворює покриття простору X. Тут \mathcal A — деяка множина індексів. При цьому атлас називається гладким (класу \,C^k) або аналітичним, якщо функції заміни координат \,f_{alpha_1\,\alpha_2} для всіх карт гладкі (класу \,C^k) або аналітичні.
  • Два гладкі (аналітичні) атласи називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.

Література[ред.ред. код]