Афінна комбінація

Афінна комбінація — загальна назва операції, яка в векторних чи афінних просторах для певної скінченної множини точок чи векторів і множини скалярів тої ж потужності визначає деякий інший елемент векторного чи афінного простору.

Визначення

Векторні простори

Для векторних просторів афінна комбінація — лінійна комбінація векторів $x_{1},\dots ,x_{n}$ векторного простору $V$ над полем $F$ :

\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}

,

сума коефіцієнтів в якій дорівнює 1, тобто:

\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1

.

Афінні простори

Якщо $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1,$ нехай $g$ позначає єдину точку афінного простору для якої

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}},

для деякої точки $o.$

З означення афінного простору точка $g$ не залежить від вибору початкової точки $o.$ Тому для

\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1,

можна просто записати як

g=\lambda _{1}a_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}.

Точку $g$ називають афінною комбінацією точок $a_{i}$ з коефіцієнтами $\lambda _{i}.$

Афінна оболонка і незалежність

Для довільної підмножини S векторного чи афінного простору її афінна оболонка визначається як:

\operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.

Елементи деякої множини S називаються афінно незалежними, якщо жоден елемент цієї множини не належить афінній оболонці інших елементів. Еквівалентно якщо $o\in S$ — довільна точка підмножини S афінного чи векторного простору, то елементи множини S називаються афінно незалежними, якщо множина векторів $S\setminus {o}-o$ є лінійно незалежною. Для векторного простору розмірності n можна дати еквівалентне означення: якщо $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}=0$ і $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}=0\,\,x_{i}\in S,$ , то звідси випливає що $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{k}=0.$

Для афінно незалежної множини жоден елемент її афінної оболонки визначений однозначно. Зокрема для афінного простору розмірності n афінно незалежна множина може мати щонайбільше n+1 точку. Кожна точка афінного простору однозначно визначається як афінна комбінація максимальної системи афінно незалежних векторів. Відповідні скаляри $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n+1}$ називаються барицентричними координатами точки.

Властивості

Операція афінної комбінації комутує з будь-яким афінним перетворенням $T$ в тому сенсі, що:

T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}Tx_{i}}

.

Зокрема, будь-яка афінна комбінація нерухомих точок заданого афінного перетворення $T$ є також нерухомою точкою $T$ , так що множина нерухомих точок $T$ утворює Афінний підпростір

Коли стохастична матриця $A$ діє на вектор-стовпець $B$ , результатом буде вектор-стовпець, елементи якого є афінними комбінаціями елементів $B$ з коефіцієнтами з рядків матриці $A$ .

Див. також

Джерела

Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — ISBN 978-0-387-95044-0.

Посилання

Notes on affine combinations. [Архівовано 20 березня 2019 у Wayback Machine.]