Багатокутні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею ( — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел (). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці . Наведемо приклади:

Трикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел .

Квадратні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел .

П'ятикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел .

Шестикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел .

Інколи визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд .

Формула[ред. | ред. код]

Якщо  — кількість сторін у многокутнику, формула -го -кутного числа наступна:

,

або

.

-те -кутного число також пов'язане з трикутними числами таким чином:

Звідси

Для заданого -кутного числа можна знайти та за допомогою формул:

,
.

Кожне шестикутне число є трикутним числом[ред. | ред. код]

Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

.

Якщо сторін 6, то

,

але оскільки

,

то звідси випливає, що

.

Отже, кожне -те шестикутне число також є -м трикутним числом . Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Таблиця значень[ред. | ред. код]

Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.[1]

s Назва Формула n Сума обернених значень[1][2] OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 Трикутні 12(n2 + n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 2[1] A000217
4 Квадратні 12(2n2 − 0n)
= n2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 π26[1] A000290
5 П'ятикутні 12(3n2n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 3 ln3 − π33[1] A000326
6 Шестикутні 12(4n2 − 2n)
= 2n2 — n
1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 2 ln 2[1] A000384
7 Семикутні 12(5n2 − 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 [1] A000566
8 Восьмикутні 12(6n2 − 4n)
= 3n2 — 2n
1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 34 ln 3 + π312[1] A000567
9 Дев'ятикутні 12(7n2 − 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 A001106
10 Десятикутні 12(8n2 − 6n)
= 4n2 — 3n
1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 ln 2 + π6 A001107
11 11-кутні 12(9n2 − 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 A051682
12 12-кутні 12(10n2 − 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A051624
13 13-кутні 12(11n2 − 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A051865
14 14-кутні 12(12n2 − 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 25 ln 2 + 310 ln 3 + π310 A051866
15 15-кутні 12(13n2 − 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A051867
16 16-кутні 12(14n2 − 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A051868
17 17-кутні 12(15n2 − 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A051869
18 18-кутні 12(16n2 − 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 47 ln 2 − 214 ln (3 − 22) + π(1 + 2)14 A051870
19 19кутні 12(17n2 − 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A051871
20 20-кутні 12(18n2 − 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A051872
21 21-кутні 12(19n2 − 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A051873
22 22-кутні 12(20n2 − 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A051874
23 23-кутні 12(21n2 − 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A051875
24 24-кутні 12(22n2 − 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10000 10000-кутні 12(9998n2 − 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 A167149

Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена  наступною тотожністю (див. A086270 [Архівовано 13 квітня 2021 у Wayback Machine.]) :

де

Чи є число багатокутним[ред. | ред. код]

Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число , потрібно визначити чи є воно багатокутним числом і якщо так, то для яких значень , . Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:[3].

  1. Випишемо всі натуральні дільники числа (включаючи та ).
  2. Випишемо всі натуральні дільники числа .
  3. З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають .
  4. Для кожного вибраного обчислюємо .
  5. Відкинемо пари , де .

Відповідно, всі пари , що залишилися, рівні .

Приклад 1. Нехай .

  • Дільники : .
  • Дільники : .
  • Виписуємо .
  • Відповідно . Останнє значення відкинемо.

Відповідь: зустрічається як , , , , тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

Задача 2. Дано натуральне число , потрібно визначити чи є воно -кутним числом . На відміну від попередньої задачі, тут задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта[4]:

.

Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для . З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо є -кутне число, тобто для деякого , то  — це деяке квадратне число і навпаки. При цьому номер знаходиться за формулою

.

Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення тут рівне , тому задане число є 10-кутним. , отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

Твірна функція[ред. | ред. код]

Степеневий ряд, коефіцієнти якого -кутні числа, збігається при :

.

Вираз справа є твірною функцією для послідовності -кутних чисел[5].

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу -кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

При  : ,
при  : ,
при  : .

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в г д е ж и Archived copy. Архів оригіналу за 15 червня 2011. Процитовано 13 червня 2010. 
  2. Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. Архів оригіналу за 29 травня 2013. Процитовано 15 травня 2020. 
  3. Деза Е., Деза М., 2016, с. 37—39.
  4. Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—39.
  5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]