Базисна функція

У математиці, базисна функція є елементом конкретної основи для функціонального простору. Кожна безперервна функція у просторі функцій може бути представлена у вигляді лінійної комбінації базисних функцій так само, як кожен вектор у векторному просторі може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

У числовому аналІзі та теорії наближення, базові функції також називають функціями змішування через їх використання в інтерполяції: У цьому застосуванні суміш базових функцій забезпечує інтерполюючу функцію (з "сумішшю" залежно від оцінки базових функцій в точках даних).

Приклади

Мономіальна основа для $C^{\omega }$

Одночлен базис задається

$\{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}.$

Ця основа використовується серед інших рядів Тейлора.

Мономіальна основа для поліномів

Мономіальна основа також утворює основу для многочленів. Зрештою, кожен поліном можна записати як{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x ^ {1} + a_ {2} x ^ {2} + \ крапки} $a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\dots$, що є лінійною комбінацією одночленів.

Основа Фур’є для $L^{2}[0,1]$

Синуси та косинуси утворюють (ортонормовану) основу Шаундера для інтегрованих квадратних функцій у кінцевій області. Як окремий приклад, колекція:

$\{{\sqrt {2}}\sin(2\pi nx)\;|\;n\in \mathbb {N} \}\cup \{{\sqrt {2}}\cos(2\pi nx)\;|\;n\in \mathbb {N} \}\cup \{1\}$

Складає основу для L²[0,1].

Список літератури

• Itô, Kiyosi (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (вид. 2nd). MIT Press. с. 1141. ISBN 0-262-59020-4.

Див. також

Основна (лінійна алгебра) (основа Гамеля) Основа Шаундера (у просторі Банаха) Дуальний базис Біортогональна система (основа Маркушевича)

Ортонормований базис у внутрішньому продуктовому просторі Ортогональні поліноми Аналіз Фур'є та Ряд Фур'є Гармонічний аналіз Ортогональний вейвлет Біортогональний вейвлет

Радіальна базисна функція Кінцеві елементи (основи) Функціональний аналіз Теорія наближень Чисельний аналіз