Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Базис.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору $V$ називається впорядкований набір векторів $\{e_{1},...,e_{n}\}$, якщо кожний вектор із $V$ можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\quad a_{i}\in \mathbb {K} .$

Коефіцієнти $a_{i}$ кільця $\mathbb {K}$ називаються координатами вектора $v$ відносно базису ${\ e_{i}}$. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

$a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$. Тобто так само, як і для запису матриць.

Якщо $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}),$ $b=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$ та $\lambda$ — деяке дійсне число, то

$a=b\Leftrightarrow \alpha _{1}=\beta _{1}\land \alpha _{2}=\beta _{2}\land \alpha _{3}=\beta _{3},\quad \quad \lambda a=(\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},\lambda \alpha _{3}),\quad \quad a+b=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\,\alpha _{2}+\beta _{2},\,\,\alpha _{3}+\beta _{3}).$

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\ \dim V.$ Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний евклідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Обертання

Ліва та права системи координат у тривимірному просторі.

Нехай $(e_{1},e_{2})$ — ортонормований базис евклідової площини, де $e_{1}$ спрямований праворуч, а $e_{2}$ — вгору. Після повороту базисних векторів проти годинникової стрілки на кут $\theta$ одержуємо

$e'_{1}=\cos \theta \,e_{1}+\sin \theta \,e_{2},\qquad e'_{2}=-\sin \theta \,e_{1}+\cos \theta \,e_{2}.$

Матриця цього повороту в початковому базисі має вигляд

$R_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$

Її визначник дорівнює $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$, тому поворот зберігає орієнтацію базису. Наприклад, для $\theta =\pi /2$ маємо $(e'_{1},e'_{2})=(e_{2},-e_{1})$.

Поворот прямокутної системи координат на кут $\theta =\arctan(3/4)$: чорна сітка — початкова, червона — повернута.

Натомість заміна $(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})$ на $(-e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})$ змінює орієнтацію: матриця такого перетворення має визначник $-1$. Для ортонормованого базису це відбиття відносно гіперплощини, натягнутої на $e_{2},\ldots ,e_{n}$.

У тривимірному просторі обертання навколо різних осей загалом не комутують.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в $\mathbb {K} ^{n}$.

Див. також

• Лема Стейніца про заміну
• Ортонормований базис
• Репер (математика)
• Тензор
• Базис циклів

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2026. — 757 с.(укр.)
• Чарін В.С. (2005). Лінійна алгебра (PDF). Київ: Техніка. с. 416.(укр.)
• Безущак О. О.; Ганюшкін О. Г.; Кочубінська Є. А. (2019). Навчальний посібник з лінійної алгебри (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 224.(укр.)
• В. В. Булдигін; І. В. Алєксєєва; В. О. Гайдей; О. О. Диховичний; Н. Р. Коновалова; Л. Б. Федорова (2011). Лінійна алгебра та аналітична геометрія Навч. посібник (PDF). Київ: ТВіМС. с. 224.(укр.)