Базис (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ілюстрація стандартного базису в R2. Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису [1]. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

. Тобто так само, як і для запису матриць.

Якщо та - деяке дійсне число, то

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел[2].

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Обертання[ред. | ред. код]

Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей.

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору (правий базис), або до набору (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори на кут

Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки[3].

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують[4].

Приклад[ред. | ред. код]

Вектори ei = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ in утворюють базис в .

Нескінченовимірні простори[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 
  2. С.Т.Завало, В.Н.Костарчук, Б.И.Хацет - Алгебра и теория чисел. 
  3. М.Г.Иванов - Механика и теория поля. 
  4. Moti Ben-Ari - A Tutorial on Euler Angles and Quaternions. 

Джерела[ред. | ред. код]