Банахова алгебра

Банахова алгебра — це топологічна алгебра $A$ над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює $A$ в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням $xy=yx\quad \forall x,y\in A.$

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо $\|xy\|\leq C\|x\|\cdot \|y\|\quad \forall x,y\in A,$ тому норму в $A$ можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

$\|xy\|\leq \|x\|\cdot \|y\|\quad \forall x,y\in A\qquad (*).$

Банахова алгебра $A$ називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент $1$ такий, що $1\cdot x=x\cdot 1=x\quad \forall x\in A.$ Якщо $A$ не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру $A\oplus \mathbb {C}$ з одиницею і нормою $||x+r\cdot 1||=||x||+|r|,$ що містить алгебру $A$ як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

Приклади

1) Нехай $X$ — компактний топологічний простір, $C(X)$ — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на $X$. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

$\|f\|=\operatorname {max} \{|f(x)|:{x\in X}\}.$

2) Простір $l^{1}$ послідовностей $x=(x_{0},x_{1},\ldots ),$ для яких $||x||=\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty ,$ з нормою $||x||,$ звичайним додаванням і добутком за формулою

$(xy)_{n}=\sum _{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}.$

3) Множина $B(L)$ всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі $L$ утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі $H$.

4) Групова алгебра $L^{1}(G)$ локально компактної топологічної групи $G,$ де добуток — це згортка функцій на $G.$

Спектри

• Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта $K$ спектр $w(z)=z$ на $C(K)$ збігається з $K$, тобто інших обмежень немає.
• Спектральним радіусом $R$ елемента $x$ називається $\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}.$ Для нього існує формула спектрального радіуса $R=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.$
• Якщо $\varphi :A\to B$ -унітальний (переводить одиницю $A$ в одиницю $B$) гомоморфізм, то для будь-якого $a\in A$ виконане $\sigma _{B}(\varphi (a))\subseteq \sigma _{A}(a)$. Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
• Якщо $p\in \mathbb {C} [t]$ — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді $p(\sigma (a))=\sigma (p(a))$. Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та $C^{*}-$алгебри

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення $A$ до себе, $x\mapsto x^{*}.$

Елемент $x\in A$ називається:

• нормальним, якщо $x^{*}x=xx^{*};$
• ермітовим, якщо $x=x^{*};$
• унітарним, якщо $x^{*}x=xx^{*}=1.$

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра $B(H)$ обмежених операторів на гільбертовому просторі $H$ являє собою банахову алгебру з інволюцією, де $T^{*}$ — це спряжений до оператора $T$. Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру $B(H).$ Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією $A$ називається $C^{*}-$алгеброю, якщо виконується тотожність

$\|x^{*}x\|=\|x\|^{2}$ для всіх $x\in A.$

Неважко побачити, що в алгебрі $B(H)$ це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка $C^{*}-$алгебра $A$ допускає точне *-зображення у $B(H).$ Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна $C^{*}-$алгебра з одиницею має вигляд $C(X)$ (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір $X$ можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри $A$, або її максимальні ідеали, $X=\operatorname {SpecmA} .$ Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) $C^{*}-$алгебру $A$ як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі $''\operatorname {Spec} A''$.

Теорія $C^{*}-$алгебр використовується в теорії зображень і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха

Література

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — 664 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М. : МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М. : Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.