Барометрична формула

Барометри́чна фо́рмула — формула, яка наближено визначає залежність тиску або густини газу в атмосфері від висоти. Для ідеального газу в однорідному гравітаційному полі за умови сталої температури барометрична формула для тиску й густини має вигляд:

$p=p_{0}\exp \left({-{\frac {Mgh}{RT}}}\right)$ ,

$\rho =\rho _{0}\exp \left({-{\frac {Mgh}{RT}}}\right)$ ,

де p₀ і ρ₀ — тиск і густина на рівні моря; p і ρ — тиск і густина на висоті h; M — молекулярна маса; g — прискорення вільного падіння; R — універсальна газова стала; T — абсолютна температура повітря. Тобто і тиск, і густина спадають з висотою за експоненціальним законом, зменшуючись в e = 2,718… разів на висоті h = RT/Mg — так званій зведеній висоті або висоті однорідної атмосфери, яка для Земної атмосфери дорівнює приблизно 8,4 км. Існують складніші й точніші форми цих формул, які враховують зміну температури з висотою та інші додаткові фактори.

Виведення

Барометричну формулу можна вивести, використовуючи рівняння стану ідеального газу: $P={\frac {\rho }{M}}{R}T$ де R — це універсальна газова стала.

Припустимо, що тиск є виключно гідростатичним: $dP=-\rho g\,dz$ Поділивши це рівняння на $P$ , отримуємо: ${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{RT}}$

Інтегруючи цей вираз від поверхні до висоти z, отримуємо: $\ln(P/P_{0})=-\int _{0}^{z}{\frac {Mg\,dz}{RT}}$ $P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/RT}}$

Припускаючи сталі температуру, молярну масу і прискорення вільного падіння, отримуємо першу барометричну формулу у вигляді: $P=P_{0}e^{-Mgz/RT}$ Якщо натомість припустити лінійну залежність температури від висоти $T=T_{0}-Lz$ , інтегрування дає: $P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{RL}}}$ Тут величина RT/Mg задає зведену висоту (або ж висоту однорідної атмосфери), яка для тропосфери Землі дорівнює приблизно 8,4 км.

Наведене вище виведення використовує класичну механіку. Існує кілька альтернативних виведень, найвідоміші з яких базуються на термодинамічних силах і статистичній механіці^[1].

Практичне застосування

Американська стандартна атмосфера^[en] описується двома рівняннями для обчислення тиску залежно від висоти, які застосовні від рівня моря до висоти 86 км. Одне рівняння застосовують для шарів атмосфери, у яких температуру вважають сталою з висотою (нульовий температурний градієнт)^[2]^:12: $P=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}'\cdot M_{0}\left(H-H_{b}\right)}{R\cdot T_{M,b}}}\right]$ Інще рівняння використовують для шарів атмосфери, у яких температура змінюється з висотою з ненульовим температурним градієнтом $L_{M,b}$ ^[2]^:12: $P=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{M,b}}{T_{M,b}+L_{M,b}\cdot \left(H-H_{b}\right)}}\right]^{\frac {g_{0}'\cdot M_{0}}{R\cdot L_{M,b}}}$ Тут:

$P_{b}$ — опорний тиск
$T_{M,b}$ — опорна температура (K)
$L_{M,b}$ — температурний градієнт (K/m), наприклад −6,5 K/км на рівні моря. Це вертикальний градієнт температури із протилежною домовленістю щодо знака.
$H$ — геопотенціальна висота^[en], на якій обчислюють тиск (м)
$H_{b}$ — геопотенціальна висота опорного рівня b (метри; наприклад, H_b = 11 000 м)
$R$ — універсальна газова стала, яку приймають рівною 8,31432×10³ Н·м/(кмоль·К)^[2]^:3, хоча фактичне значення цієї сталої в цих одиницях округлюють до 8,31446.
$M_{0}$ — середня молярна маса повітря на рівні моря: 28,9644 кг/кмоль станом на 1976^[2]^:9
$g_{0}'$ — стандартне прискорення вільного падіння, 9,80665 м/с²^[2]^:3

Значення нижнього індексу b змінюється від 0 до 6 для семи послідовних шарів атмосфери, показаних у таблиці нижче. У цих рівняннях g₀, M і R є сталими величинами, тоді як P, L, T і H мають різні значення відповідно до наведеної нижче таблиці. Значення для M, g₀ і R відповідають американській стандартній атмосфері^[en] 1976 року, причому значення R не збігається зі стандартними значеннями цієї сталої^[2]^:3. Опорним значенням P_b для b = 0 є визначений тиск на рівні моря, P₀ = 101 325 Па. Значення P_b для b = 1—6 отримують, застосовуючи відповідне з рівнянь 1 або 2 для випадку, коли H = H_b+1^[2]^:12.

Індекс b	Висота над рівнем моря (км)^[2]^:3	Статичний тиск (Па)	Стандартна температура (K)	Температурний градієнт (К/км)^[2]^:3	Показник степеня g₀ M / R L
0	0	101 325	288,15	-6,5	-5,25588
1	11	22 632,1	216,65	0,0	—
2	20	5 474,89	216,65	1,0	34,1626
3	32	868,019	228,65	2,8	12,2009
4	47	110,9063	270,65	0,0	—
5	51	66,9389	270,65	-2,8	-12,2009
6	71	3,95642	214,65	-2	-17,0813

Густину можна обчислити з тиску й температури за формулою^[2]^:15

$\rho ={\frac {P\cdot M_{0}}{R\cdot T_{M}}}={\frac {P\cdot M}{R\cdot T}}$ , де

$M_{0}$ — молекулярна маса на рівні моря
$M$ — середня молекулярна маса на відповідній висоті
$T$ — температура на відповідній висоті
$T_{M}=T\cdot {\frac {M_{0}}{M}}$ ^[2]^:9.

Вважають, що атмосфера добре перемішана приблизно до висоти 80 км, тому в межах області застосування наведених рівнянь $M=M_{0}$ ^[2]^:9.

Ця модель із простим кусочно-лінійним профілем температури не дуже добре узгоджується з реально спостережуваною атмосферою на висотах нижче 20 км. У діапазоні від 51 км до 81 км вона ближча до спостережуваних умов^[2]^:1.

Застосування

Частину планетної атмосфери, у якій наближено застосовна барометрична формула, називають баросферою. Вона простягається від поверхні до термопаузи, яку також називають баропаузою. Вище розташована екзосфера, де розподіл швидкостей частинок є немаксвеллівським, оскільки атоми й молекули з великими швидкостями можуть залишати атмосферу^[3]^[4].

Строго кажучи, всі припущення, на яких ґрунтується виведення барометричної формули, справедливі лише наближено. Ані температура, ані температурний градієнт не є сталими. Прискорення вільного падіння трохи зменшується з висотою через віддалення від центру Землі. Молекулярна маса може змінюватися з висотою через конденсацію водяної пари, дисоціацію молекул під впливом космічних факторів, часткове осідання важчих молекул під впливом сили тяжіння та інші фактори. Рівняння стану ідеального газу теж потребує модифікації за умови наявності водяної пари або дисоціації молекул. Сама умова гідростатичної рівноваги, на якій ґрунтується виведення формули, справедлива лише наближено — її порушують будь-які вертикальні рухи атмосфери, від вітрів і до систематичної втрати маси у верхніх шарах атмосфери.

Барометричну формулу можна використовувати для грубих оцінок в технічних, метеорологічних, планетологічних застосунках. Вона дозволяє за вимірюваннями тиску оцінювати висоту над рівнем моря. За уточненою барометричною формулою градуюють альтиметри. З різним степенем точності барометричну формулу можна застосовувати до атмосфер інших планет, зір та інших астрономічних об'єктів. Окрім атмосфери, барометричну формулу з певним обмеженням можна використати для визначення розподілу кількості колоїдних частинок по висоті рідинної або газової дисперсної системи, на які діє поле тяжіння. Барометрична формула є окремим випадком розподілу Больцмана.

Примітки

↑ Lente, G.; Ősz, K. (2020). Barometric formulas: various derivations and comparisons to environmentally relevant observations. ChemTexts. 6 (2): 13. doi:10.1007/s40828-020-0111-6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 U.S. Standard Atmosphere, 1976 (PDF) (Звіт). Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office. Жовтень 1976. NTRS 19770009539. Процитовано 29 червня 2025.
↑ Bauer, Siegfried; Lammer, Helmut (2013). Planetary Aeronomy: Atmosphere Environments in Planetary Systems. Physics of Earth and Space Environments. Springer Science & Business Media. с. 4—5. ISBN 978-3-662-09362-7.
↑ Hargreaves, John Keith (1992). The Solar-Terrestrial Environment: An Introduction to Geospace - the Science of the Terrestrial Upper Atmosphere, Ionosphere, and Magnetosphere. Cambridge Atmospheric and Space Science Series. Cambridge University Press. с. 100. ISBN 9780521427371.

Джерела

Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.

[ChemTexts0111-6-1] Lente, G.; Ősz, K. (2020). Barometric formulas: various derivations and comparisons to environmentally relevant observations. ChemTexts. 6 (2): 13. doi:10.1007/s40828-020-0111-6.

[USSA1976-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 U.S. Standard Atmosphere, 1976 (PDF) (Звіт). Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office. Жовтень 1976. NTRS 19770009539. Процитовано 29 червня 2025.

[3] Bauer, Siegfried; Lammer, Helmut (2013). Planetary Aeronomy: Atmosphere Environments in Planetary Systems. Physics of Earth and Space Environments. Springer Science & Business Media. с. 4—5. ISBN 978-3-662-09362-7.

[4] Hargreaves, John Keith (1992). The Solar-Terrestrial Environment: An Introduction to Geospace - the Science of the Terrestrial Upper Atmosphere, Ionosphere, and Magnetosphere. Cambridge Atmospheric and Space Science Series. Cambridge University Press. с. 100. ISBN 9780521427371.

[1]

[2]

[3]

[4]