Басейни Ньютона

Басейни Ньютона

Басейни Ньютона для полінома п'ятого степеня $p(x)=x^{5}-1$. Різними кольорами зафарбовані області тяжіння для різних коренів. Темніші області відповідають більшому числу ітерацій

Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різновид алгебраїчних фракталів.

Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, у даному випадку, узагальнюється для комплексної площини).

Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля функції комплексного змінного, використовуючи процедуру:

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n})}}.$

Вибір початкового наближення $z_{0}$ представляє особливий інтерес. Оскільки функція може мати декілька нулів, в різних випадках метод може сходитися до різних значень. Проте, що за області забезпечать збіжність до того або іншого кореня?

Історія

Це питання зацікавило Артура Келі ще в 1879 році, проте вирішити його змогли лише в 1970-х роках ХХ століття з появою обчислювальної техніки. Виявилось, що на перетинах цих областей (їх прийнято називати областями тяжіння) утворюються так звані фрактали — нескінченні самоподібні геометричні фігури.

З огляду на те, що Ньютон застосовував свій метод виключно до поліномів, фрактали, утворені в результаті такого застосування, набули назви фракталів Ньютона або басейнів Ньютона.

Три корені

Розглянемо рівняння:

$p(z)=0$, $p(z)=z^{3}-1$

Воно має три корені. При виборі різних $z_{0}$ процес буде сходиться до різних коренів (областей тяжіння). Артур Келі поставив завдання опису цих областей, межі яких, як виявилося, мають фрактальну структуру.

Побудова

За наступною формулою:

$z_{i+1}=z_{i}-{\frac {p(z_{i})}{p'(z_{i})}}=z_{i}-{\frac {z_{i}^{3}-1}{3\,z_{i}^{2}}}$

Див. також

• Алгебраїчні фрактали
  • Множина Мандельброта
  • Множина Жюліа
  • Біоморф
• Геометричні фрактали
  • Крива Коха (сніжинка Коха)
  • Крива Леві
  • Крива Гільберта
  • Ламана Дракона (Фрактал Хартера-Хейтуея)
  • Множина Кантора
  • Трикутник Серпинського
  • Килим Серпинського
  • Дерево Піфагора
• Стохастичні фрактали
• Рукотворні фрактали
• Природні фрактали
• Детерміновані фрактали
• Недетерміновані фрактали

Примітки

Краса Ньютонівських фракталів

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Література

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
3. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
4. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
5. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
7. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
8. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.

Посилання

• Краса фракталів
• Побудова басейнів Ньютона на MATLAB [Архівовано 10 червня 2018 у Wayback Machine.]