Бета-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік бета-функції при дійсних аргументах

У математиці бета-функцією (-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:

,

визначена при , .

Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.

Властивості[ред.ред. код]

Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто

.

Бета-функцію можна виразити через інші функції:

,

де Гамма-функція;

;
;
,

де нижній факторіал, рівний .

Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:

.

Похідні[ред.ред. код]

Частинні похідні у бета-функції наступні:

.

Неповна бета-функція[ред.ред. код]

Неповна бета-функція — це узагальненням бета-функції,що заміняє визначений інтеграл невизначеним:

.

При неповна бета-функція збігається з повною.

Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:

.

Властивості [ред.ред. код]

;
;
.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка).