Бордизм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
«Штани» — бордизм між колом і парою кіл

Бордизм, також бордантність — термін топології, що використовується самостійно або ж у складі стандартних словосполучень в кількох споріднених сенсах. Майже у всіх з них замість бордизма раніше вживали термін кобордизм, попередня термінологія також збереглася.

Неорієнтовані бордизми[ред.ред. код]

Неорієнтовані бордизми — найпростіший варіант бордизмів. Два гладких замкнутих -вимірних многовида і бордантні (обмежують, або внутрішньо гомологічні), якщо існує гладкий компактний -вимірний многовид (що його називають плівкою), край якого складається з двох многовидів і , (або точніше многовидів і дифеоморфних, відповідно, і через деякі дифеоморфізми і ). Сукупність многовидів, бордантних один одному, називається класами бордизмів, а трійку називають бордизмом (точніше було би казати про п'ятірку ).

Множина класів бордизмів -вимірних многовидів утворюють абелеву групу відносно незв'язного об'єднання, що називають групою бордизмів. Нулем в ній служить клас бордизмів, що складаються з многовидів, які є межею деякого многовиду (інші назви:  — обмежуючий многовид,  — внутрішньо гомологічно, або бордантно нулю). Елементом оберненим даному класу бордизмів, є сам цей клас (так як об'єднання двох копій дифеоморфно межі прямого добутку ). Пряма сума груп є комутативним градуйованим кільцем, множення у якому індуковане прямим добутком многовидів, з одиницею, заданою класом бордизмів точки.

Історія[ред.ред. код]

Перший приклад — бордизм оснащених многовидів, введений в 1938 році Понтрягіним, який показав, що класифікація цих бордизмів еквівалентна обрахуванню гомотопічних груп сфер , і таким шляхом зміг знайти і . Неорієнтовані та орієнтовані бордизми були уведені в 1951—53 роках Рохліним, який обрахував для . Понтрягін довів, що якщо два многовида бордантні, то у них однакові характеристичні числа. Згодом виявилося, що зворотне теж вірно.

Література[ред.ред. код]

  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М: Мир, 1972. — 280 с.

Див. також[ред.ред. код]