Брамагупта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Брамагупта
санскр. ब्रह्मगुप्त
Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg
Народився 598(0598)
Бхілман, Індія
Помер 668(0668)
Місце проживання Бхілман, тепер у штаті Раджастхан, Індія[1] і Удджайн, тепер у штаті Мадх'я-Прадеш, Індія
Громадянство
(підданство)
Індія
Галузь наукових інтересів математика, астрономія
Відомий завдяки: «Перегляд системи Брами»

Wikiquote-logo.svg Висловлювання у Вікіцитатах
CMNS: Брамагупта на Вікісховищі

Брамагу́пта (санскр. ब्रह्मगुप्त; 598 — 668) — давньоіндійський математик і астроном, який написав важливі роботи з математики та астрономії а саме: теоретичний трактат «Brāhmasphuṭasiddhānta» («Брахма-спхута-сіддханта», може перекладатись як «Удосконалене вчення Брахми» чи «Перегляд системи Брами»), завершений у 628-му році, та більш практичний текст «Khaṇḍakhādyaka» («Кхандакхадьяка»), який побачив світ у 665-му[2]. Трактати написані у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків. Ці роботи справили значний вплив на розвиток астрономії у Візантії та ісламських країнах, поклавши початок використанню алгебраїчних методів для астрономічних обчислень.

Біографічні дані[ред.ред. код]

Вважається, що Брамагупта народився у 598 році. Це випливає з книги «Брахма-спхута-сіддханта», у якій він повідомляє, що написав цей текст у тридцятирічному віці у 628 році (Śaka 550)[3][4]. Брамагупта народився у Бхілламалі (тепер місто Бхілман у штаті Раджастхан Північно-Західної Індії). У стародавні часи місто Бхілман було резиденцією влади Ґуджар. Його батьком був Джиснугупта[5]. Він, ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бхілмані під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха[6], тому його нерідко називають Бхілламакарья (вчитель з Бхіллама)[7]. Брамагупта керував астрономічною обсерваторією в Удджайні. Обсерваторія, у якій також працював Варахаміхіра, була найкращою у тогочасній Індії[5].

Під час свого перебування в Бхілмані написав чотири твори з математики та астрономії. У 628 р. виклав четверту індуїстську астрономічну систему у віршованій формі у творі «Перегляд системи Брами» (Брахма-спхута-сіддханта). Дві його глави присвячені математиці, в тому числі арифметичній прогресії, доведенню різних геометричних теорем і розв'язанню квадратних рівнянь, які мають дійсні розв'язки. Решта 23 глави присвячені астрономії: у них описані фази Місяця, з'єднання планет, дані розрахунки щодо положень планет. Велика частина роботи присвячена затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет в гороскопі.

До нас дійшов лише твір Брамагупти «Перегляд системи Брами» (628), значна частина якого присвячена арифметиці й алгебрі. У ньому викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких неозначених квадратних рівнянь виду ax²+c=y², метод розв'язування неозначених лінійних рівнянь виду ax+c=by з використанням методу послідовних дробів[5][8].

Внесок у математику[ред.ред. код]

Арифметика[ред.ред. код]

Уведення поняття нуля[ред.ред. код]

В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання з числа самого числа. Він одним з перших встановив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні числа як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою[5]:

  • Ділення нуля на нуль є нулем;
  • Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику;
  • Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.

Тотожність Брамагупти[ред.ред. код]

Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів саме є сумою двох квадратів, причому двояким чином.

Наприклад,

Геометрія[ред.ред. код]

До доведення теореми Брамагупти

Теорема Брамагупти[ред.ред. код]

Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини[9].

Формула Брамагупти[ред.ред. код]

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює

Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:

де a, b, c — сторони трикутника, , та  — його висоти.

Задача Брамагупти[ред.ред. код]

Brahmaguptas formula.svg

Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами[10]. Одне з рішень використовує кола Аполлонія.

Алгебра[ред.ред. код]

Розв'язування квадратних рівнянь[ред.ред. код]

Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті[11]. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду . При цьому передбачалося, що в ньому усі коефіцієнти, крім можуть бути від'ємними. Сформульоване ученим правило за своєю суттю збігається із сучасним.

Інтерполяційна формула Брамагупти[ред.ред. код]

У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях[12]. Формула дає оцінку значення функції f при значенні її аргумента a + xh (при h > 0 та −1 ≤ x ≤ 1), коли її значення уже відоме у точках ah, a та a + h. Вона записується так:

де Δ — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто

Внесок в астрономію[ред.ред. код]

Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти Брахма-спхута-сіддханта.[13] Халіф Аль-Мансур (712—775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канків, який викладав індійську систему астрономії на основі Брахма-спхута-сіддханта. На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти на арабську мову.

Астрономічні подання Брамагупти, викладені в Брахма-спхута-сіддханта, свідчать про високий рівень його досліджень та наукової прозорливості. Так, у сьомому розділі праці, яка називається «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць знаходиться далі від Землі, ніж Сонце.[14]

7.1. Якби Місяць був вище Сонця, то її ближня до Сонця половина завжди була б освітлена.

7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою.

7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] збільшується у напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.

— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.

Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і може бути обчислена виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.

Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, з'єднань, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта піддав критиці уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б з землі») Брамагупта відповів:

«Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від землі».

— Брамагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив:

«Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води-текти.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Твори[ред.ред. код]

«Брахма-спхута-сіддханта»[ред.ред. код]

Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628), містить 25 розділів:

  1. Про стан земної кулі і форму неба та землі.
  2. Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
  3. Про складання таблиці світил.
  4. Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
  5. Про те, як світила з'являються через промення Сонця і як вони ховаються за ними.
  6. Про те, як показується молодий місяць, і про його два роги.
  7. Про затемнення Місяця.
  8. Про затемнення Сонця.
  9. Про тіні Місяця.
  10. Про з'єднання та протистоянні світил.
  11. Про широти світил.
  12. Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
  13. Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
  14. Про уточнення середнього положення світил.
  15. Про виправлення таблиці світил.
  16. Про точне дослідженні трьох проблем.
  17. Про відхилення затемнень.
  18. Про точне визначення появи молодого місяця і його двох рогів.
  19. Про метод «Куттак».
  20. Про розрахунки у розмірах віршів та метриці.
  21. Про кола та інструменти.
  22. Про чотири виміри часу — по Сонцю, по сходу, по Місяцю і по місячним станціям.
  23. Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах з цього предмету.
  24. Про докази, що не використовують математику.

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена арабською у 771 році математиком і філософом Ібрахімом аль-Фазарі. Переклад, який було виконано у вигляді таблиць — Зіджа — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндхінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважається, що переклад останньої у XI століття латинською відіграв вирішальну роль в поширенні позиційної системи числення[15][16].

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена китайськими математиками VII—IX ст. (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених[2]. У 1817 році дві математичні глави були перекладені англійською Генрі Томасом Колбруком[7].

«Кхандакхадьяка»[ред.ред. код]

Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії[17]. Вона містить 8 глав. У цій роботі Брамагупта уточнив й спростив низку методик астрономічних розрахунків, користуючись багато у чому системою, запропонованою Аріабхатою[18]. Крім цього, вона включає інтерполяційну формулу для обчислення синусів[5]. У VIII столітті «Кхандакхадьяка» була перекладена арабською під назвою «Арканд»[18].

Коментарі до Кхандакхадьяки були написані у 864, 966, 1040, 1180 роках, деякі з них не збереглись. Сама книга була надрукована в Калькутті у 1925 та 1941 роках. Переклад англійською зробив Сенгупта (англ. Prabodh Chandra Sengupta) у 1934 році[7].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Sachau, Edward C. (2013). Alberuni's India. Routledge. с. 156. ISBN 978-1-136-38357-1. 
  2. а б Pearce Ian. Brahmagupta, and the influence on Arabia. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 2013-09-15. Процитовано 2013-08-20. 
  3. Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, с. xxxv-xxxvi
  4. Brahmagupta. Encyclopedia of World Biography. 2006. Процитовано 2013-08-20. 
  5. а б в г д J J O'Connor and E F Robertson. Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 2013-09-15. Процитовано 2013-08-20. 
  6. Plofker, 2007, с. 418—419
  7. а б в Brahmagupta. Complete Dictionary of Scientific Biography. Процитовано 2013-08-20. 
  8. Plofker, 2007, с. 428—434
  9. Michael John Bradley The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Publisher Infobase Publishing, 2006. — P 70, 85. — ISBN 0816054231
  10. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, в 2-х ч. — М.: Наука, 1986.
  11. Энциклопедический словарь юного математика, 1985
  12. Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 285-286. ISBN 0-691-00659-8. .
  13. Brahmagupta, and the influence on Arabia. Retrieved 23 December 2007.
  14. Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
  15. Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (2 November 2006). Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. Cambridge University Press. с. 302–303. ISBN 978-0-521-02887-5. 
  16. van Bladel, Kevin (28 November 2014). Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace. У Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland. Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone. BRILL. с. 257–294. ISBN 978-90-04-28171-4. 
  17. Takao Hayashi. Brahmagupta. Британська енциклопедія. Архів оригіналу за 2013-09-16. Процитовано 2013-08-20. 
  18. а б Katz V. J., Imhausen A. История человечества. — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII-XVI века. — P. 410-412. — 796 p. (рос.)

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]