Бігармонічна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Бігармонічна функціяфункція дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору , що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню:

де оператор набла, оператор Лапласа.

Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд:

В полярних координатах:

Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат xi.

Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f1, f2 або g1, g2 у вигляді

або

де а — константа.

Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області , що задовольняє на границі C умовам

де — похідна по нормалі до C, f1(s), f2(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C.

Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій.

Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис

за допомогою двох аналітичних функцій комплексної змінної . Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
  • Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.