Бікватерніони

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Бікватерніони — комплексифікація (розширення) звичайних (дійсних) кватерніонів.

Визначення[ред. | ред. код]

Бікватерніони можна описати як множини чисел виду «», де w, x, y, z — ті чи інші «спеціальні комплексні числа». Альтернативний спосіб уведення — процедура Келі — Діксона: це гіперкомплексні числа вигляду , де ,  — будь-які кватерніони, а  — «уявна одиниця розширення». Відомі три різних види бікватерніонів, залежно від того, якого типу «комплексні» числа покладено в основу цього подання (інакше кажучи, які властивості розширюваної операції множення для числа «»):

Історія та застосування[ред. | ред. код]

Про ординарні бікватерніони написав Гамільтон 1844 року (див. праці Ірландської Королівської Академії 1844 і 1850, стор. 388). До числа прихильників цих бікватерніонів належать Александр Макфарлейн[en], Артур В. Конвей[en], Людвік Зільберштейн[en] і Корнеліус Ланцош[en]. Одинична квазісфера бікватерніонів забезпечує подання групи Лоренца, на якій ґрунтується спеціальна теорія відносності.

Подвійні кватерніони вивчав Вільям Кліфорд. Дуальні кватерніони інструментально забезпечують нестандартний аналіз звичайних кватерніонів. Далі, якщо не обумовлено інше, йдеться про ординарні бікватерніони.

Властивості[ред. | ред. код]

«Алгебра бікватерніонів» є тензорним добутком алгебр (взятим над дійсними числами), де  — та чи інша алгебра комплексних чисел, а  — алгебра звичайних (дійсних) кватерніонів. Як -алгебра бікватерніони ізоморфні алгебрі комплексних матриць 2x2 M2().

Матричне подання[ред. | ред. код]

Є три комплексні матриці, для яких: =   Причому квадрат кожної з цих матриць є «мінус одинична матриця», а якщо добутку цих матриць зіставити добуток чисел . Отримуємо, що породжувана цими матрицями підгрупа матричної групи ізоморфна групі кватерніонів. Отже, якщо зіставити матриці бікватерніон , то для даної 2х2 комплексної матриці завжди існують комплексні величини у цій формі. Інакше кажучи, кільце комплексних матриць ізоморфне[1] кільцю (ординарних) бікватерніонів.

Скалярно-векторне подання[ред. | ред. код]

Довільний бікватерніон  — це сума (зв'язка) комплекснозначних числа («скаляра» і тривимірного вектора [2]:

Можливі два типи скалярно-векторного подання залежно від виду добутку двох бікватерніонів. Обидва подання еквівалентні. У разі стандартного подання добутку і має вигляд[3]:

,

де і  — скалярний і векторний добутки відповідно.

У разі комплексного подання[4]:

Так визначений добуток для двох дійсних бікватерніонів дає в загальному випадку комплекснозначний бікватерніон.

Бікватерніон, спряжений даному , є:

Квадрат модуля бікватерніона є комплексним числом:

Він має властивість мультиплікативності:

Операції спряження і комплексного спряження, застосовані до добутку бікватерніонів, змінюють порядок співмножників:

Всі бікватерніони поділяють на нулькватерніони — з нульовим квадратом модуля, і решту — ненульові бікватерніони. Кожен з цих класів замкнутий відносно операції множення.

Підалгебри[ред. | ред. код]

Під час розгляду (ординарних) бікватерніонів як алгебри над полем дійсних чисел набір утворює базис, ця алгебра має дійсну розмірність простору вісім. Притому квадрати всіх елементів дорівнюють . Отже, дійсна підалгебра, утворювана , ізоморфна кільцю, яке утворюють подвійні числа (з алгебричною структурою, аналогічною побудованій над одиничною гіперболою[en]). Елемент визначають такі ж підалгебри.

Елементи утворюють підалгебру, ізоморфну бікомплексним числам.

Третій вид підалгебри, так звані «кокватерніони[en]», породжується , оскільки дійсний лінійний підпростір із базисом замкнутий відносно множення (адже ). Зазначений базис утворює діедральну групу квадрата, а кокватерніони ізоморфні алгебрі дійсних матриць 2х2.

Квантова механіка і спінорна алгебра трактують бікватерніони (або їх заперечення), розглядаючи їх у поданні як матриці Паулі.

Примітка[ред. | ред. код]

  1. Leonard Dickson (1914) Linear Algebras, § 13 «Equivalence of the complex quaternion and matric algebras», p.13
  2. L. Silberstein, Quaternionic Form of Relativity, Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp.790-809, 1912.
  3. А. А. Алексеева, Дифференциальная алгебра бикватернионов. Преобразования Лоренца биволновых уравнений, Математический журнал, Алматы, Vol. 10, № 35, 2010, с.33-41
  4. С. Я. Котковский, Нульвекторная алгебра, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 12:2(23), 2015, с.59-172

Посилання[ред. | ред. код]

  • Бікватерніони (ординарні) — популярний виклад (рос.)
  • Vladislav V Kravchenko Applied Quaternionic Analysis. Heldermann 2003, — 134p. ISBN 3-88538-228-8 (див.)
  • Бікватерніони — основні поняття і властивості бікватерніонів з прикладом їх застосування мовою програмування JavaScript. (рос.)