Білінійна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору \ V в скалярне поле \ F, що є лінійним по кожному зі своїх аргументів:

\ B: V\times V\to F,

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа \R чи комплексні числа \C.

  • \ B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v),
  • \ B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v'),
  • \ B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v).

Білінійна форма \ B(v,u) називається спряженою до форми \ B(u, v) і позначається \ B^*.

Для випадку комплексних чисел цікавішими є сесквилінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними по одному з аргументів.

Координатне представлення[ред.ред. код]

  • Якщо \ (e_1, \ldots, e_n) — деякий базис лінійного простору \ V, то білінійна форма буде представлена як:
B(\textbf{x,\; y}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{y} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j

де \ Aквадратна матриця з елементами \ a_{ij}=B(e_i, e_j).

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

\ A' =S^{T} A S.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних \ u,v виконується \ B(u,v) = B(v,u) і
кососиметричною, якщо \ B(u,v) = -B(v,u).

Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:

\ B^{\pm} = \frac{1}{2} (B \pm B^*) \quad \to \quad B = B^{+} + B^{-}

Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма[ред.ред. код]

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

  • Маючи білінійну форму \ B (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
\ Q(u) = B(u,u)
  • І навпаки, маючи квадратичну форму \ Q, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
B(u,v) = \frac14\left(Q(u+v) - Q(u-v)\right).

Ортогональний базис[ред.ред. код]

Базис \ (e_1, \ldots, e_n) називається ортогональним по відношенню до \ B якщо:

\ \forall i \neq j: \quad B(e_i, e_j) = 0.
  • Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).
  • Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця \ A є діагональною.

Закон інерції[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]