Білінійна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним по кожному зі своїх аргументів:

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа

Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається

Для випадку комплексних чисел цікавішими є сесквилінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними по одному з аргументів.

Координатне представлення[ред.ред. код]

  • Якщо — деякий базис лінійного простору то білінійна форма буде представлена як:

де квадратна матриця з елементами

  • Якщо деякий інший базис в де невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних виконується і
кососиметричною, якщо

Довільна білінійна форма може бути представлена у вигляді суми симетричної і кососиметричної форми:

  • Симетрична білінійна форма називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо

Додатноозначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма[ред.ред. код]

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

  • Маючи білінійну форму (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
  • І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

Ортогональний базис[ред.ред. код]

Базис називається ортогональним по відношенню до якщо:

  • Завжди можна знайти ортогональний базис для симетричної білінійної форми (доводиться методом математичної індукції).
  • Базис є ортогональним тоді і тільки тоді, коли в ньому матриця є діагональною.

Закон інерції[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]