Варіаційний метод

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Варіаційний метод — метод розв'язку сладних математичних задач за допомогою мінімізації певного функціоналу, використовуючи пробну функцію, яка залежить від невеликої кількості параметрів.

Квантова механіка[ред.ред. код]

Стан квантовомеханічної системи визначається хвильовою функцією, яку знаходять із стаціонарного рівняння Шредінгера

 \hat{H}\psi = E\psi ,

де  \hat{H}  — гамільтоніан системи.

В загальному випадку великого числа часток (три в квантовій механіці частки уже багато) розв'язати рівняння Шредінгера аналітично і навіть чисельно, не використовуючи додаткових наближень, неможливо.

Функціонал

 \langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle  = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau,

де інтегрування проводиться по всьому координатному простору, а ψ — довільна функція всіх змінних системи, має мінімальне значення при певній функції  \psi_0 , яка відповідає основному стану системи і є розв'язком рівняння Шредінгера.

Варіаційний метод полягає в тому, щоб використати для розв'язку якусь пробну функцію змінних системи \phi(\lambda_i) \,, залежну від декількох параметрів  \lambda_i, яка задовільняла б умові нормування

 \langle \phi|\phi \rangle = 1 .

В такому випадку

 \Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i)  \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau  - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i) d\tau

є функцією (уже не фукнціоналом) від параметрів \lambda_i і додаткового параметру E. Мінімум цього функціоналу щодо усіх параметрів \lambda_i визначає наближення до енергії основного стану системи. Цей мінімум знаходять із системи рівнянь

 \frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0,

враховуючи умову нормування, або будь-яким іншим способом мінімізації.

Варіаційний метод дає найкраще наближення до енергії основного стану для даної форми пробної функції. При вдало вибраній пробній функції це наближення може бути доволі точним, незначно відрізняючись від того, що спостерігається на експерименті. Вдало вибрана пробна функція дозволяє також робити якісні висновки про поведінку квантовомеханічної системи.

Вибір пробної функції є певним мистецтвом. Здебільшого при цьому опираються на певні фізичні уявлення про поведінку системи. Збільшення числа параметрів у пробній функції дозволяє покращити результат, але ускладнює задачу, а іноді може призвести до відшукання хибного локального мінімуму.



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.