Вейвлет-перетворення
Ця стаття є сирим перекладом з англійської мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. (лютий 2023) |
В математиці, серії вейвлетів є подання квадратної інтегрованої[en] (дійсні або комплексні значення) функції за певною ортонормованої серії, породженої вейвлетом. В даний час, вейвлет-перетворення є одним з найпопулярніших тимчасових частот-перетворювань. У даній статті наводиться формальне та математичне визначення ортонормованого вейвлета, та інтегрального вейвлет-перетворення.
Функція називається ортонормованим вейвлетом, якщо її можна використати для визначення базису Гільберта, тобто повна ортонормована система, для Гільбертого простору квадратично-інтегрованих функцій[en]. Базис Гільберта будується як сімейство функцій за допомогою двійкових перенесень і розтягувань[en] ,
- для цілих j, k. Якщо під стандартним передгільбертовим простором на ,
- то це сімейство ортонормоване і його система теж ортонормована: :
де , є дельта Кронекера. Повнота виконується, якщо кожна функція може бути розширена в базисі як
із збіжності рядів розуміється збіжність по нормі. Таке уявлення функції f відомо як серія вейвлета. Це означає, що ортонормований вейвлет самоподвійний[en]. Інтегральне вейвлет-перетворення є інтегральним перетворенням і визначається як : . Коефіцієнти вейвлетів отримуються з формули: Тут, називається бінарним розширенням або двійковим розширенням, і це бінарна або двійкова позиція.
Основна ідея вейвлет-перетворень є те, що перетворення має дозволити тільки зміни в продовження часу, але не форму. Це залежить від вибору відповідних базисних функцій, які дозволяють це. Зміни в продовження часу, як очікується, відповідають відповідній частоті аналізу функції базису. Виходячи з принципу невизначеності обробки сигналів:, де t представляє час і ω кутову частоту; (ω = 2πf, де f є тимчасова частота). Чим вище необхідний дозвіл в часі, тим нижче має бути дозвіл по частоті. Чим більше вибрано розширення вікна аналізу, тим більше величина .
Коли Δt велике,
- Поганий дозвіл за часом.
- Гарний дозвіл по частоті.
- Низька частота, великий коефіцієнт масштабування.
Коли Δt мала
- Гарний дозвіл за часом.
- Поганий дозвіл по частоті.
- Висока частота, малий коефіцієнт масштабування.
Іншими словами, базову функцію Ψ можна розглядати як імпульсний відгук системи, з якою функція х(t) була відфільтрована. Перетворений сигнал містить інформацію про час і частоту. Таким чином, вейвлет-перетворення містить інформацію, аналогічну до віконного Фур'є-перетворення, але з додатковими спеціальними властивостями вейвлетів, які з'являються в вирішенні під час більш високих частотах аналізу базисної функції. Різниця в дозволі часу на висхідних частотах для перетворення Фур'є і вейвлет-перетворення показано нижче.
Можна побачити, що вейвлет-перетворення кращий в дозволі часу високих частот, в той час як для повільно мінливих функцій, важливий дозвіл по частоті. Інший приклад: Аналіз трьох накладених один на одного синусоїдальних сигналів , з STFT і вейвлет-перетворенням.
Вейвлет стиснення є формою стиснення даних, яка добре підходить для стиснення зображень (іноді також стиснення відео і аудіо стиснення). Помітні реалізацій JPEG 2000, DjVu і нерухомих зображень, CineForm[en] і BBC's Dirac[en]. Мета полягає в тому, щоб зберігати дані зображення, зайнявши, при цьому як менше місця, наскільки це можливо в файлі. Вейвлет стиснення може бути або без втрат, або з втратами.[1]
За допомогою вейвлет-перетворення, методи вейвлет стиснення є достатніми для подання перехідних процесів, таких як ударні звуки в аудіо, або високочастотні компоненти в двовимірних зображень, наприклад, зображення зірок на нічному небі. Це означає, що перехідні елементи даних сигналу можуть бути представлені меншою кількістю інформації, ніж було б у разі використання якої-небудь іншої трансформації, наприклад широкого дискретного косинусного перетворення.
Дискретне вейвлет-перетворення було успішно застосовано для стиснення електрокардіографічних (ЕКГ) сигналів.[2] У даній роботі, висока кореляція між відповідними вейвлет-коефіцієнтами сигналів послідовних серцевих циклів і використовуються лінійне передбачення з використанням.
Вейвлет стиснення не підходить для всіх видів даних: перехідні характеристики сигналу означають гарне стиснення вейвлета, в той час як гладкі, періодичні сигнали краще стискаються за допомогою інших методів, зокрема, традиційна гармоніка стиснення (частотна область, за допомогою перетворень Фур'є і пов'язаними з ними).
Дивись Щоденник x264 Розробник: Проблеми з вейвлетами (2010) (Diary Of An x264 Developer: The problems with wavelets) для обговорення практичних питань існуючих методів з використанням вейвлетів для стиснення відео.
Перше вейвлет-перетворення було прикладним. Він виробляє стільки коефіцієнтів, скільки пікселів у зображенні (тобто, немає ніякого стиснення, оскільки це тільки перетворення). Ці коефіцієнти можна легше стиснути, тому що загальна матриця містить надлишкову інформацію, а значення їх — статистично залежні. Цей принцип називається кодування з перетворенням[en]. Після цього коефіцієнти квантуються і квантовані значення ентропійно кодуються і / або кодується довжина послідовності. Декілька 1D і 2D застосувань вейвлет-стиснення використовують технологію, яка називається «вейвлетний слід» (англ. wavelet footprints).[3][4]
Перетворення | Представлення | Вхідні дані |
---|---|---|
Перетворення Фур'є | ξ, частота | |
Частотно-часовий аналіз | t, time; f, частота | |
Вейвлет-перетворення | a, масштаб; b, час |
Вейвлети мають деякі незначні переваги в порівнянні з Фур'є, наприклад, в скороченні обчислень при розгляді конкретних частот. Проте, вони рідко бувають більш чутливими, і, дійсно, спільний вейвлет Морлета[en] — це математично ідентичний до віконного перетворення Фур'є з використанням функції вікна Гаусса.[5] Виняток є при пошуку сигналів відомої синусоїдальної форми (наприклад, серцебиття); в цьому випадку, використовуючи відповідний вейвлет можна перевершити стандартний аналіз STFT / Морлет.[6]
Вейвлет-перетворення може дати нам з частотою сигналів час, пов'язаним з цими частотами, робить його дуже зручним для його застосування в різних областях. Так, наприклад, обробка сигналів прискорень для аналізу ходи,[7] для виявлення несправностей,[8] для дизайну електрокардіостимуляторів низької потужності, а також в надширокосмугових (Сніп) бездротового зв'язку.[9]
1.Дискретизація c-τ осі
Застосовують наступну дискретизацію частоти і часу:
Призводить до форми вейвлетів, яка є дискретна формулою для базису вейвлета:
Такі дискретні вейвлети можуть бути використані для трансформації:
2.Реалізація через БПФ (швидке перетворення Фур'є)
Видно з подання вейвлет-перетворення (як показано нижче) :
де с — коефіцієнт масштабування, τ являє собою фактор зсуву часу і, як вже згадувалися в цьому контексті, вейвлет-перетворення відповідає згортку функції у(t) і вейвлет-функцію]. Згортка може бути реалізована як множення в частотній області. При цьому наступний підхід результатів реалізації в:
- Фур'є-перетворення сигналу у(к) з FFT.
- Вибір дискретного коефіцієнта масштабування .
- Масштабування базису вейвлет-функції за допомогою цього чинника і результат швидкого перетворення Фур'є цієї функції.
- Множення з перетвореним сигналом YFFT з першого кроку.
№Зворотне перетворення продукту в результати тимчасової області в YW для різних дискретних значень τ і дискретне значення . №Повертаємося до другого кроку, до тих пір, поки всі значення дискретного масштабування для обробляються.
Є багато різних типів вейвлет-перетворення для конкретних цілей. Див. також: повний список вейвлета пов'язаних перетворень, але загальні з них перераховані нижче: мексиканський капелюх[en], вейвлет Хаара, Вейвлет, вейвлет Добеші, трикутний імпульс.
- Continuous wavelet transform
- Дискретне вейвлет-перетворення[en]
- Complex wavelet transform
- Подвійний вейвлет[en]
- Multiresolution analysis
- MrSID, the image format developed from original wavelet compression research at Los Alamos National Laboratory (LANL).
- ECW (file format), a wavelet-based geospatial image format designed for speed and processing efficiency
- JPEG 2000, вейвлет оснований на стандарті стиснення зображень
- DjVu format uses wavelet-based IW44 algorithm for image compression
- scaleograms, a type of spectrogrm generated using wavelets instead of a short-time Fourier transformтип спектрограми, яка генерується з використанням вейвлетів, замість віконного перетворення Фур'є.
- Вейвлет Морлета[en]
- Chirplet transform
- Time-frequency representation
- S transform
- Віконне перетворення Фур'є
- Ів Мейєр
- Інгрід Добеші
- Стефан Маллат[en]
- Вейвлет Габора[en]
- Вейвлет-перетворення у компресії та попередній обробці зображень / О. В. Капшій, О. І. Коваль, Б. П. Русин ; НАН України, Фіз.-мех. ін-т ім. Г. В. Карпенка. − Л. : Сполом, 2008. − 208 с. : іл. − Бібліогр. : с. 187−203 (238 назв). − ISBN 978-966-665-554-0.
- ↑ JPEG 2000, for example, may use a 5/3 wavelet for lossless (reversible) transform and a 9/7 wavelet for lossy (irreversible) transform.
- ↑ A. G. Ramakrishnan and S. Saha, "ECG coding by wavelet-based linear prediction, " IEEE Trans. Biomed. Eng., Vol. 44, No. 12, pp. 1253—1261, 1977.
- ↑ N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman and V. V. Dinesh Chander. "A New and Novel Image Compression Algorithm Using Wavelet Footprints" [Архівовано 19 вересня 2018 у Wayback Machine.]
- ↑ Ho Tatt Wei and Jeoti, V. "A wavelet footprints-based compression scheme for ECG signals". Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). A wavelet footprints-based compression scheme for ECG signals. 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. Т. A. с. 283. doi:10.1109/TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8.
- ↑ Bruns, Andreas (2004). Fourier-, Hilbert- and wavelet-based signal analysis: are they really different approaches?. Journal of Neuroscience Methods. 137 (2): 321—332. doi:10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077.
- ↑ Krantz, Steven G. (1999). A Panorama of Harmonic Analysis. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-031-1.
- ↑ «Novel method for stride length estimation with body area network accelerometers» [Архівовано 6 травня 2016 у Wayback Machine.], IEEE BioWireless 2011, pp. 79-82
- ↑ Liu, Jie (2012). Shannon wavelet spectrum analysis on truncated vibration signals for machine incipient fault detection. Measurement Science and Technology. 23 (5): 1—11. doi:10.1088/0957-0233/23/5/055604.
- ↑ Akansu, A. N.; Serdijn, W. A.; Selesnick, I. W. (2010). Emerging applications of wavelets: A review (PDF). Physical Communication. 3: 1. doi:10.1016/j.phycom.2009.07.001. Архів оригіналу (PDF) за 7 листопада 2017. Процитовано 24 травня 2017.