Векторна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці і лінійній алгебрі, векторна алгебра відноситься до алгебраїчних операцій в векторному просторі. Найчастіше, вона відноситься до операцій над Евклідовими векторами.

Основні поняття[ред. | ред. код]

Вектором у геометрії (геометричним вектором) називають напрямлений відрізок. Першу точку напрямленого відрізка називають початком вектора, а другу — кінцем вектора.

Довжиною вектора a є довжина його відрізка. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним.

Координатами вектора в ортогональній системі координат є його проекції на осі координат.

Загальний векторний простір[ред. | ред. код]

Для отримання більш докладної інформації з цієї теми, див. Векторний простір.

Додавання і віднімання[ред. | ред. код]

Припустимо, що a і b це вектори, що можуть мати довільний напрям і величину. Сумою a і b буде

Суму векторів можна показати графічно розміщуючи початок вектора b в голові вектора a, і проводячи новий вектор від початку вектора a до кінця вектора b. Новий вектор, зображений стрілкою є вектором a + b, як показано нижче:

Додавання двох векторів a і b

Цей метод додавання векторів іноді називають правилом паралелограма оскільки a і b утворюють сторони паралелограма, а a + b є одною з його діагоналей.

Різниця двох векторів геометрично може задаватися наступним чином: для того, щоб відняти b із a, треба розмістити початки векторів a і b в одній точці, а потім провести стрілку від голови вектора b до кінця вектора a. Ця нова стрілка представляє собою вектор ab, як показано нижче:

Віднімання двох векторів a і b

Віднімання двох векторів також можна здійснити, якщо взяти протилежний до другого вектора і додати його до першого вектора, це буде виглядати наступним чином, ab = a + (−b).

Множення на скаляр[ред. | ред. код]

Докладніше: Множення на скаляр
Скалярний добуток вектора на число 3 збільшує вектор в три рази.

Вектор може помножуватись, або бути масштабованим, на дійсне число r. В контексті традиційної векторної алгебри, ці дійсні числа часто називають скалярами (від слова шкала) аби розрізняти їх від векторів. Операція помноження вектора на скаляр називається скалярним добутком. Результуючий вектор буде дорівнювати

Очевидно, що помноження на скаляр r масштабує вектор на величину r. Геометрично, це можна зобразити (принаймні для випадку, коли r є цілим числом) розмістивши копії вектора r разів в лінію, так що кінець одного вектора є початком кожного наступного.

Якщо r є від'ємним числом, тоді вектор змінює напрям: він розвертається на 180°. Нижче наведені два приклади (для r = −1 і r = 2):

Скалярні добутки −a і 2a вектора a

Помноження на скаляр є дистрибутивною операцією в поєднанні з додаванням векторів у наступному розумінні: r(a + b) = ra + rb для будь-яких векторів a і b і всіх скалярів r.

Скалярний добуток[ред. | ред. код]

Докладніше: Скалярний добуток

Скалярний добуток двох векторів a і b (іноді називається внутрішнім добутком, але, так як в результаті отримується скаляр, частіше скалярним добутком) позначається як a ∙ b і визначається наступним чином:

де θ це значення Кута між векторами a і b (див тригонометричні функції для інформації про функцію косинуса). Геометрично, що вектори a і b намальовані із спільною точкою в початку векторів, потім довжина вектора a помножена на компоненту вектора b, що направлена в тому самому напрямі що і a.

Скалярний добуток також можна визначити як суму добутків компонент кожного вектора, наступним чином:

Тривимірний простір[ред. | ред. код]

Векторний добуток[ред. | ред. код]

Зображення векторного добутку
Докладніше: Векторний добуток

Векторний добуток (також називається зовнішній добуток) має сенс лише для трьох або семи вимірів. Векторний добуток відрізняється від скалярного добутку в першу чергу тим, що результатом векторного добутку двох векторів є вектор. Векторний добуток, позначається як a × b, і є вектором, що перпендикулярний обом векторам a і b і позначається як

де θ це кут між a і b, а n є одиничним вектором перпендикулярним до обох a і b, який відповідає правилу правої руки. Визначення праворучної системи в даному випадку є важливим, оскільки існує два одиничних вектори, перпендикулярних до a і b, а саме, n і (–n).

Довжина a × b є площею паралелограма, що має сторони a і b.

Векторний добуток можна записати наступним чином

Скалярний мішаний добуток[ред. | ред. код]

Докладніше: Мішаний добуток

Мішаний добуток не є новою операцією над векторами, а є комбінацією існуючих двох операцій множення до трьох векторів. Мішаний добуток іноді позначається як (a b c) і визначається наступним чином:

Він має три основних застосування. По перше, значення вищенаведеного добутку дорівнює об'єму паралелепіпеда, сторони якого задані цими трьома векторами. По друге, мішаний добуток дорівнюватиме нулю, тоді і тільки тоді коли всі три вектори лінійно незалежні, що можна легко довести, розглянувши ситуацію, що для того, щоб три вектори утворювали нульовий об'єм вони мають всі три лежати в одній площині. По третє, мішаний добуток буде додатнім лише коли три вектори a, b і c утворюють праворучну трійку векторів.

Із використанням компонент (у відповідності до праворучного ортогонального базису), якщо три вектори представити у вигляді рядків (або стовбців, але в тому ж порядку), мішаний добуток є визначником матриці 3-на-3, що містить три вектори в рядках

Скалярний мішаний добуток є лінійним для всіх трьох елементів і анти-симетричним в наступному сенсі:

Джерела[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]