Вектор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Вектор (від лат. vector, «той що несе») — в найпростішому випадку математичний об'єкт, який характеризується величиною і напрямком. Наприклад, в геометрії і в природничих науках вектор є спрямований відрізок прямої в евклідовому просторі (або на площині).

Приклади: радіус-вектор, швидкість, момент сили. Якщо в просторі задана система координат, то вектор однозначно задається набором своїх координат. Тому в математиці, інформатиці та інших науках упорядкований набір чисел часто теж називають вектором. У більш загальному сенсі вектор в математиці розглядається як елемент деякого векторного (лінійного) простору.

Є одним з основоположних понять лінійної алгебри. При використанні найбільш загального означення векторами виявляються практично всі досліджувані в лінійній алгебрі об'єкти, в тому числі матриці, тензори, однак, при наявності в навколишньому контексті цих об'єктів, під вектором розуміються відповідно вектор-рядок або вектор-стовпець, тензор першого рангу. Властивості операцій над векторами вивчаються в векторному численні.

Позначення[ред. | ред. код]

Вектор, представлений набором елементів (компонент) позначають наступними способами:

.

Для того, щоб підкреслити, що це вектор (а не скаляр), використовують риску зверху, стрілочку згори, жирний або готичний шрифт:

Сума векторів майже завжди позначається знаком плюс:

.

Множення на число — просто написанням поруч, без спеціального знака, наприклад:

,

причому число при цьому зазвичай пишуть зліва.

Множення на матрицю також позначають написанням поруч, без спеціального знака, але тут перестановка співмножників в загальному випадку впливає на результат. Дія лінійного оператора на вектор також позначається написанням оператора зліва, без спеціального знака.

Історія[ред. | ред. код]

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрямок і (необов'язково) точку прикладання. Зачатки векторного числення з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел (Гаусс, 1831). Розвинені операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонного числення (вектор утворювали уявні компоненти кватерниона). Гамільтон запропонував сам термін вектор (лат. vector, «той що несе») і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл в своїх працях з електромагнетизму, тим самим звернувши увагу вчених на нове числення. Незабаром вийшли «Елементи векторного аналізу» Гіббса (1880-ті роки), а потім Хевісайд (1903) надав векторному аналізу сучасного вигляду.

Вектор як послідовність[ред. | ред. код]

Вектор — (послідовність, кортеж) однорідних елементів. Це найбільш загальне означення в тому сенсі, що може бути не задано звичайних векторних операцій взагалі, їх може бути менше, або вони можуть не задовольняти звичайним аксіомам лінійного простору. Саме в такому вигляді вектор розуміється в програмуванні, де, як правило, позначається ім'ям-ідентифікатором з квадратними дужками (наприклад, object []). Перелік властивостей моделює прийняте в теорії систем визначення класу і стану об'єкта. Так типи елементів вектора визначають клас об'єкта, а значення елементів — його стан. Втім, ймовірно, це вживання терміна вже виходить за рамки зазвичай прийнятого в алгебрі, так і в математиці взагалі.

Арифметичним вектором називається впорядкована сукупність n чисел. Позначається , числа називаються компонентами арифметичного вектора. Множина арифметичних векторів, для яких визначені операції додавання і множення на число називається простором арифметичних векторів .

Посилання[ред. | ред. код]