Вектор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Vector AB from A to B.svg

Геометричний вектор — у фізиці і математиці — величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. У фізиці існує чимало важливих величин, котрі є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами».

Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини . Наприклад, для графічного представлення сили величиною два ньютони треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від точки A до точки B; якби сила діяла від B до A, то треба було б записати . Числове значення вектора називається модулем чи довжиною і позначається ||. Ця величина — скаляр. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначено через , то протилежний йому вектор позначається через . Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається .

Два вектори називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються. У механіці цим визначенням треба користуватися з обережністю, оскільки дві рівні сили, прикладені до різних точок тіла можуть призводити до різних результатів.

Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна між собою додавати і віднімати, можна множити і ділити на числа. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність (віднімання трактується як особливий випадок додавання). Суму двох векторів з однаковим початком можна знайти геометрично за допомогою правила паралелограма.

Вектор є тензором першого рангу.

Поняття вектора[ред.ред. код]

Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана і ірландського математика В. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. У сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Загальний опис[ред.ред. код]

В фізиці і інженерії, як правило вектор це геометрична сутність. яка характеризується величиною і напрямком. Формально він визначається за допомогою направленого відрізку, або стрілкою, в Евклідовому просторі.[1] В чистій математиці, вектор визначається більш загально як будь-який довільний елемент векторного простору. В тому контексті, вектори це абстрактні сутності, які не обов'язково можуть характеризуватися напрямом і величиною. Це узагальнене визначення передбачає, що вищезгадані геометричні об'єкти є особливим видом векторів, і вони є елементами окремого виду векторного простору, що називається Евклідовим простором.

Термін вектор має узагальнене визначення для просторів вищого порядку і в більш формальних підходах вирішення більш широких задач.

Приклади для одного виміру[ред.ред. код]

Оскільки фізичне поняття сили має напрям і величину, її можна розглядати як вектор. Наприклад, розглянемо направлену в право силу F в 15 Ньютон. Якщо позитивна вісь також направлена вправо, тоді F представляється вектором в 15 Н, а якщо додатна вісь вказує вліво, тоді вектор F становить −15 Н. У будь-якому випадку, величина вектора в 15 Н. Аналогічно, вектор, який описує переміщення Δs на 4 метра буде задаватися як 4 м або −4 м, в залежності від його напрямку, і його величина буде 4 м відповідно.

У декартовій системі координат[ред.ред. код]

У декартовій системі координат, зв'язаний вектор може задаватися координатами початкової і кінцевої точки. Наприклад, точки A = (1,0,0) і B = (0,1,0) в просторі задають зв'язаний вектор , який вказує із точки x=1 на осі x на точку y=1 на осі y.

В декартовій системі координат може задаватися вільний вектор в термінах відповідного вектора, який має початкову точку на початку координат в точці O = (0,0,0). І він задається координатами кінцевої точки як задається зв'язаний вектор. В такому випадку вільний вектор представлений координатами (1,0,0) це вектор одиничної довжини, який вказує вздовж додатної осі x.

Таке представлення векторів у вигляді координат дозволяє у зручній чисельній формі виразити їх алгебраїчні властивості. Наприклад, сумою двох (вільних) векторів (1,2,3) і (−2,0,4) є (вільний) вектор

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1 − 2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).

Векторна алгебра[ред.ред. код]

Докладніше: Векторна алгебра

Додавання і віднімання[ред.ред. код]

Для отримання докладнішої інформації з цієї теми див. Векторний простір.

Припустимо, що a і b це вектори, що можуть мати довільний напрям і величину. Сумою a і b буде

Суму векторів можна показати графічно розміщуючи початок вектора b в голові вектора a, і проводячи новий вектор від початку вектора a до голови вектора b. Новий вектор, зображений стрілкою є вектором a + b, як показано нижче:

Додавання двох векторів a і b

Різницею векторів a і b є

Різниця двох векторів геометрично може задаватися наступним чином: для того, щоб відняти b із a, треба розмістити початки векторів a і b в одній точці, а потім провести стрілку від голови вектора b до голови вектора a. Ця нова стрілка представляє собою вектор ab, як показано нижче:

Віднімання двох векторів a і b

Множення на скаляр[ред.ред. код]

Скалярний добуток вектора на число 3 збільшує вектор в три рази.

Вектор може помножуватись, або бути масштабованим, на дійсне число r. В контексті традиційної векторної алгебри, ці дійсні числа часто називають скалярами (від слова шкала) аби розрізняти їх від векторів. Операція помноження вектора на скаляр називається скалярним добутком. Результуючий вектор буде дорівнювати

Очевидно, що помноження на скаляр r масштабує вектор на величину r. Геометрично, це можна зобразити (принаймні для випадку, коли r є цілим числом) розмістивши копії вектора r разів в лінію, так що кінець одного вектора є початком кожного наступного.

Якщо r є від'ємним числом, тоді вектор змінює напрям: він розвертається на 180°. Нижче наведені два приклади (для r = −1 і r = 2):

Скалярні добутки −a і 2a вектора a

Властивості векторів[ред.ред. код]

Ортогональність[ред.ред. код]

Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Інколи замість цього терміну використовують «перпендикулярність», проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендикулярності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Колінеарність[ред.ред. код]

Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Часто замість цього терміну використовують термін «паралельність», проте слід враховувати, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Рівність векторів[ред.ред. код]

Нехай i  — два вектори площини (або простору). Кажуть, що вектор || дорівнює вектору , і записують = , якщо:
1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD;
2)промені AB i CD однаково напрямлені.

Властивості додавання векторів[ред.ред. код]

1) властивість нульового вектора:
a+0=a;
2) асоціативність додавання:
(a+b)+c=a+(b+c);
3) комутативність додавання:
a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число[ред.ред. код]


1) комутативність:
λa=aλ;

2) асоціативність:
λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів:
λ(a+b)=λa+λb;
4) дистрибутивність відносно додавання чисел:
(μ+λ)a=μa+λa;

Застосування[ред.ред. код]

Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея — Ньютона (в її сучасному викладенні), в теорії відносності, природознавства, не кажучи вже про застосування векторів в різних областях математики.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Ito, 1993, с. 1678

Джерела[ред.ред. код]

  • Довідник з математики для середніх навчальних закладів / За ред. С. О. Степанова. — К.: Вища шк. Головне видавництво, 1998. — 416с..:іл.

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.