Верхня та нижня межа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Точна верхня межа (верхня грань) і точна нижня межа (нижня грань) — узагальнення понять максимуму та мінімуму відповідно.

Використовувані визначення[ред.ред. код]

Мажоранта чи верхня межа множини  — число , таке що .

Міноранта чи нижня межа множини  — число , таке що .

Визначення[ред.ред. код]

Точною верхньою границею, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини упорядкованої множини , називається найменший елемент , котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини . Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх границь. Позначається .

Більш формально:

 — множина верхніх границь , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи

Точною нижньою границею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини впорядкованої множини , називається найбільший елемент , котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини . Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається .

Зауваження[ред.ред. код]

Ці визначення нічого не говорять про те, чи належить й множині чи ні.

У випадку , говорять, що є максимумом (найбільшим елементом) , позначається .

У випадку , говорять, що є мінімумом (найменшим елементом) , позначається .

Див. Найбільший та найменший елемент.

Приклади[ред.ред. код]

  • На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
  • Для множини
; .
  • Множина додатних раціональних чисел не має точної верхньої границі в , точна нижня границя .
  • Множина раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої границі в , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
та .

Теорема про границі[ред.ред. код]

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню границю; обмежена знизу - нижню границю. Тобто існує та такі, що

Властивості[ред.ред. код]

  • По теоремі про границі, для будь-якої обмеженої зверху підмножини , існує .
  • По теоремі про границі, для будь-якої обмеженої знизу підмножини , існує .
  • Дійсне число є тоді й тільки тоді, коли:
    1. є верхня границя тобто для всіх елементів , ;
    2. Для будь-якого знайдеться , такий, що .(тобто до можно скільки завгодно «близько підібратися» з множини )
  • Аналогічне твердження вірне для точної нижньої грані.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]