Верхня і нижня границі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності використовуються позначення (поширене в українській і російській літературі) і (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд і

Визначення[ред.ред. код]

Визначення для послідовностей[ред.ред. код]

Нижню границю послідовності можна визначити:

або

Подібним чином верхня границя послідовності (xn) визначається

або

Визначення для функцій[ред.ред. код]

Нехай дано дійсну функцію де і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

Визначення для послідовності множин[ред.ред. код]

Нехай Ω — деяка множина, (An) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

і

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині
  • Числова послідовність збігається до тоді і тільки тоді, коли .
  • Для будь-якого наперед узятого додатного числа всі елементи обмеженої числової послідовності , починаючи з деякого номера, залежного від , лежать усередині інтервалу .
  • Якщо за межами інтервалу лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності , то інтервал міститься в інтервалі .
  • Виконуються нерівності:

Література[ред.ред. код]