Виділення квадрату

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
На анімації зображено процес виділення квадрату

В елементарній алгебрі виділення квадрату — це методика перетворення квадратного тричлена

до вигляду

де h і k — це деякі значення.

Виділення квадрату використовується при

В математиці виділення квадрату часто використовується в різних обчисленнях із застосуванням квадратних тричленів.

Огляд[ред. | ред. код]

Уявлення[ред. | ред. код]

Формула з елементарної алгебри для обчислення квадрата двочлена:

Наприклад:

У будь-якому повному квадраті, коефіцієнт біля х у два рази перевищує число p, а вільний член дорівнює p2.

Простий приклад[ред. | ред. код]

Розглянемо наступний квадратний поліном:

Він не є повним квадратом, оскільки 28 не квадрат числа 5:

Однак, можна цей тричлен представити у вигляді суми повного квадрату і числа:

Це і називається виділенням повного квадрату.

Основний опис[ред. | ред. код]

Розглянемо довільний квадратний тричлен з коефіцієнтом при старшому члені 1 (нормований тричлен):

а також квадрат двочлена

Ці тричлени відрізняються тільки на сталу величину — в них різні вільні члени. Таким чином, ми можемо написати

де . Така операція називається виділенням квадрату. Наприклад:

Узагальнення основного опису[ред. | ред. код]

Розглянемо квадратний тричлен вигляду

Винесемо коефіцієнт при старшому члені за дужки, отримаємо випадок, описаний вище.

Приклад:

Це дозволяє нам представити довільний квадратний тричлен у формі

Формула[ред. | ред. код]

Скалярний вигляд[ред. | ред. код]

Для виділення повного квадрату можна використовувати формули. Для загального випадку:[1]

Зокрема, коли а = 1:

Матричний вигляд[ред. | ред. код]

Матричний вигляд дуже схожий:

де має бути симетричною.

Якщо не симетрична, формули і мають такий вигляд:

.

Графічне представлення[ред. | ред. код]

В аналітичній геометрії, графік будь-якої квадратичної функції є парабола в ху-площині. Враховуючи вигляд квадратного тричлена

числа h та k можуть бути інтерпретовані як декартові координати вершини параболи. Тобто, h — це х-координата осі симетрії (наприклад, вісь симетрії має рівняння х = h), і k — це мінімальне значення (або максимальне значення, Якщо а < 0) квадратичної функції.

Один зі способів переконатися у цьому — зверніть увагу, що графік функції ƒ(х) = х2 є парабола з вершиною в початку координат (0, 0). Таким чином, графік функції ƒ(x − h) = (x − h)2 є парабола зміщена вправо на h з вершиною в (h, 0), як показано у верхній частині малюнка. На відміну від попереднього графіка функції, ƒ(х) + kx2 + k — це парабола зміщена вгору на k з вершиною в (0, k), як показано в центрі малюнка. Поєднання горизонтального і вертикального зміщень дає ƒ(x − h) + k = (x − h)2 + k, при якому парабола зсувається вправо на h і вгору на k з вершиною в (hk), як показано на нижньому малюнку.

Розв'язування квадратних рівнянь[ред. | ред. код]

Виділення квадрату може бути використане для розв'язання будь-якого квадратного рівняння. Наприклад:

Виділимо повний квадрат:

Звідси маємо, що:

Тому

і тому

Це може бути застосовано до будь-якого квадратного рівняння. Коли коефіцієнт при х2 відмінний від 1, першим кроком є поділ на рівняння на цей коефіцієнт.

Ірраціональні і комплексні корені[ред. | ред. код]

На відміну від методів, пов'язаних з розкладанням рівняння на множники, яке є надійним, тільки якщо корені раціональні, виділенням квадрату знайдемо корені квадратного рівняння навіть якщо ці корені є ірраціональними або комплексними. Наприклад, розглянемо рівняння

Виділення квадрата дає

отже

Потім

Лаконічніше:

Отже,

Рівнянь з комплексними коренями можуть бути розв'язані таким же чином. Наприклад:

Загальний вигляд[ред. | ред. код]

Для незведених квадратних рівнянь першим кроком до їх розв'язання є розділити на коефіцієнт при х2. Наприклад:

Застосування[ред. | ред. код]

Інтегрування[ред. | ред. код]

Виділення квадрату може бути використане для обчислення інтегралів виду

з використанням основних інтегралів

Наприклад, розглянемо інтеграл

Виділення квадрата в знаменнику дає:

Це може бути обчислено з допомогою підстановки у = х + 3, яка дає

Комплексні числа[ред. | ред. код]

Розглянемо вираз

де z і b є комплексними числами, z* і b* є комплексно спряжені до z, та b, відповідно, а c — це дійсне число. Використовуючи властивість |у|2 = уу* , ми можемо переписати вираз як

що має дійсне значення. Це відбувається тому, що

Розглянемо інший приклад, вираз

де a, b, c, x і y — дійсні числа, причому а > 0 і b > 0, може бути виражена як квадрат абсолютного значення комплексного числа. Визначимо

Тоді

отже,

Ідемпотентна матриця[ред. | ред. код]

Матриця М є ідемпотентною, якщо М 2 = М. Ідемпотентні матриці узагальнюють ідемпотентні властивості 0 і 1. Виділення квадрату в рівнянні

показує, що деякими ідемпотентними 2 × 2 матрицями параметризують коло в (А, B)-площині.

Матриця буде ідемпотентом за умови що, при виділенні квадрату стає

В (А, B)-площині — це рівняння кола з центром у точці (1/2, 0) і радіусом 1/2.

Геометрична інтерпретація[ред. | ред. код]

Completing the square.svg

Розглянемо виділення квадрату для рівняння

Оскільки х2 являє собою площу квадрата зі стороною довжини х і bx являє собою площу прямокутника зі сторонами b і x, процес виділення квадрата можна розглядати як візуальні маніпуляції прямокутників.

Прості спроби об'єднати квадрат х2 і прямокутник bx у великий квадрат не дають результату. Доданок (b/2)2 потрібно додати до кожної сторони рівняння — це саме та ділянка, якої не вистачає до повного квадрату, звідки походить термін «виділити квадрат».

Використання у техніці[ред. | ред. код]

Зазвичай повний квадрат складається з трьох складових, додамо v 2 до

щоб отримати квадрат. Є також випадки, в яких можна додати середній член тричлена, або 2uv або −2uv, щоб

стало повним квадратом.

Приклад: сума числа і оберненого до нього числа[ред. | ред. код]

Написавши

ми бачимо, що сума числа х і оберненого до нього числа завжди більше або дорівнює 2. Квадрат виразу завжди більше або дорівнює нулю, коли х дорівнює 1.

Приклад: розкладання многочлена 4-го степеня[ред. | ред. код]

Розглянемо проблему розкладання на множники многочлена

Запишемо його у вигляді

тому середній член 2(х2)(18) = 36х2. Таким чином, ми отримуємо

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. с. 133–134. ISBN 0-618-41301-4. 

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]