Вимірна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай і дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція називається -вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із належить , тобто

де повний прообраз множини .

Замітка[ред.ред. код]

Дійснозначні вимірні функції[ред.ред. код]

Нехай задана функція . Тоді справедливі такі визначення:

  • Функція вимірна, якщо
.
  • Функція вимірна, якщо
, таких що , маємо ,

де позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Нехай і — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція називається борелівською.
  • Вимірна функція , де — множина елементарних подій, а — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
  • Нехай і індикатор множини Тод функція не є вимірною.

Властивості вимірних функцій[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]