Випадкова величина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Випадкова змінна)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Випадкова величина (англ. Random variable) — величина, можливими значеннями якої є результат випробування випадкового явища. Випадкова величина — одне з основних понять теорії ймовірностей.[1][2] Випадковою величиною можна назвати будь-яку (не обов'язково чисельну) змінну x, значення якої утворюють множину випадкових елементарних подій {х}. У вигляді функції, випадкова величина повинна бути вимірною.

Зазвичай результати цих випробувань залежать від деяких фізичних змінних, які не мають чіткої визначеності. Наприклад, при підкиданні звичайної монети, кінцевий результат впаде вона аверсом чи реверсом залежить від невизначених фізичних параметрів. Який результат буде зрештою спостерігатися є непевним. Областю визначення випадкової величини є множина можливих результатів. У випадку з монетою, розглядають лише два можливих результатом - вона впаде однією з двох сторін.

Випадкова величина визначається як функція, яка відображає результати у вигляді числових величин (міток), що зазвичай задаються дійсними числами. У даному випадку, існує процедура присвоєння чисельного значення кожному можливому результату експеримента, і на відміну від іменування назвами, ця процедура сама по собі не є випадковою і не є змінною. Те що є випадковим, це неусталений фізичний процес, який описує як падає монета, і невизначеність результату, який буде спостерігатися в конкретний момент.

Означення[ред. | ред. код]

  • Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна , «значення» якої утворюють множину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини .[3]

Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини , називається областю значень цієї величини .[4]

Властивості[ред. | ред. код]

Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі , тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деяким дійсним числом. Більш формально:

називається випадковою величиною, якщо , де  — -алгебра Борелевих множин на .

Нехай x1, x2, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення xj може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = xj. Ймовірність цієї події позначається . Система рівнянь:

визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.

Очевидно, що:

та .

Якщо дві або більше випадкових величини X1, X2, …, Xn визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям , і т. д. призначаються визначені ймовірності.

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень , , …, виконується рівність:

Тобто, якщо Xk залежить лише від k-го випробування, то випадкові величини X1, X2, …, Xn взаємно незалежні.

Ймовірність випадкової величини[ред. | ред. код]

  • Ймовірність випадкової величини дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень:[5]

де

;  — граничні значення нормованої величини ;
 — це середнє значення величини ;
 — стандартне відхилення цієї величини.

Приклади[ред. | ред. код]

Дискретна випадкова величина[ред. | ред. код]

У експерименті можуть навмання обирати людину, і однією випадковою величиною може бути зріст цієї людини. З математичної точки зору, випадкова величина задається функцією, яка зображає людину у зріст людини. Із випадковою величиною пов'язаний розподіл ймовірностей, який дозволяє розрахувати ймовірність, що зріст буде відповідати деякій підмножині можливих значень, наприклад ймовірність того, що зріст знаходитиметься в межах від 180 до 190 см, або ймовірність що зріст становить менше 150 або більше 200 см.

Іншою випадковою величиною може бути відомість про те скільки в людини дітей, це дискретна випадкова величина не від'ємних цілих чисел. Вона дозволяє розраховувати ймовірності для окремих цілих значень – функцію масової імовірності (ФМІ)– або для множини значень, включаючи нескінченні множини. Наприклад, подією, яка нас цікавить може бути "парна кількість дітей". Як для скінченної так і для нескінченної множини подій, їх імовірності можна знайти за допомогою додавання функцій масової імовірності елементів; таким чином, імовірність того що кількість дітей є парною є нескінченною сумою .

Підкидання монети[ред. | ред. код]

Можливі результати одного підкидання монети можна описати наступним простором варіантів . Ми можемо задати випадкову величину дійсних значень яка моделює винагороду в $1 за успішну ставку, на те що випаде аверс наступним чином:

Для монети, Y матиме функцію ймовірностей , що задається як:

Неперервна випадкова величина[ред. | ред. код]

Прикладом неперервної випадкової величини може бути рулетка, що обертається і може вибрати будь-який горизонтальний напрям. Тоді значеннями, які приймає випадкова величина є різні числові значення напрямів. Ми можемо задати ці напрями як Північ, Захід, Південь, Схід, Північний схід, і т.д. Однак зручніше зобразити простір випадкової величини за допомогою дійсних чисел, що задають градуси повороту від Півночі за годинниковою стрілкою. Випадкова змінна тоді прийматиме значення із інтервалу [0, 360), де всі частини діапазону є рівноправними. У такому випадку, X = кут повороту. Кожне дійсне число має ймовірність бути обраним такою що дорівнює нулю, але будь-якому діапазону значень можна задати додатну ймовірність. Наприклад, ймовірність що буде вибране число із діапазону [0, 180] дорівнює 12. Замість того, щоб говорити про функцію масової імовірності, ми будемо говорити що щільність імовірності для X становить 1/360. Ймовірність підмножини діапазону [0, 360) можна розрахувати помноживши розмір множини на 1/360. В загальному випадку, ймовірність для множини для заданої неперервної випадкової величини можна розрахувати за допомогою інтегрування щільності по заданій множині.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.  С. 91.
  2. Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592. 
  3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука. — 1968. — С. 484.
  4. Пряха Б. Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108.
  5. Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Л.: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — С. 140–145.

Література[ред. | ред. код]

  • В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир.