Висота трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Різні типи висот трикутника

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини кута до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони і лежить на прямій, перпендикулярній до цієї сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника.

Висоту використовують для обчислення площі трикутника: половина добутку довжини висоти на довжину основи дорівнює площі трикутника.

В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза площиною трикутника.

В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника.

В прямокутному трикутнику катети є висотами.

Всі три висоти перетинаються в одній точці, яку називають ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника. В гострокутному - всередині трикутника. В прямокутному трикутнику співпадає з вершиною прямого кута С.

де h — висота трикутника, опущена на сторону b.

В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до неконгруентної сторони ділить цю сторону на дві рівні частини. В прямокутному трикутнику висота опущена на гіпотенузу ділить її на два відрізки, нехай це буде p і q. Якщо ми позначимо довжину висоти літерою h то отримаємо співвідношення:

Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут).

Деякі синоніми[ред.ред. код]

Замість слова "висота" можна використовувати термін: "орта", а точка перетину висот трикутника називається "ортоцентром".

Властивості точки перетину трьох висот трикутника (ортоцентра)[ред.ред. код]

Ортоцентр — точка де перетинаються три висоти трикутника
  • Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Це твердження легко довести, використовуючи векторну тотожність, справедливе для будь-яких точок A, B, C, E, не обов'язково навіть лежачих в одній площині:

(Для доведення тотожності слід скористатися формулами:

В якості точки E слід взяти перетин двох висот трикутника.)

  • Останнє твердження також є наслідком теорем про вершини педального трикутника (прямої та зворотньої).
  • Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев'яти точок (див. Пряма Ейлера).
  • Ортоцентр гострого трикутника є центром кола, вписаного в нього ортотрикутника.
  • Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника. Останній трикутник називають додатковим трикутником по відношенню до першого трикутнику.
  • Останню властивість можна сформулювати так: Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром додаткового трикутника.
  • Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
  • Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
  • Якщо О - центр описаного кола ΔABC, то
  • , де R - радіус описаного кола; a, b, c - довжини сторін трикутника.
  • Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежного боку.
  • Будь-який відрізок, проведений з ортоцентра до перетину з описаним колом завжди ділиться колом Ейлера навпіл.

Теорема Гамільтона. Три відрізка прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострого трикутника, розбивають його на три трикутника, що мають ту ж саму окружність Ейлера (коло дев'яти точок), що і вихідний гострий трикутник.

Наслідки теореми Гамільтона:

  1. Три відрізка прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострого трикутника, розбивають його на три трикутника Гамільтона, що мають рівні радіуси описаних кіл.
  2. Радіуси описаних кіл трьох трикутників Гамільтона рівні радіусу кола, описаного навколо вихідного гострокутного трикутника.
  • У гострого трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника; у тупому - поза трикутником; в прямокутному - в вершині прямого кута.

Властивості висот рівнобедреного трикутника[ред.ред. код]

  • Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера - Лемуса), і третя висота одночасно є медіаною і бісектрисою того кута, з якого вона виходить.
  • Вірно і зворотне: в трикутник дві висоти рівні, і третя висота одночасно є медіаною і бісектрисою.
  • У рівностороннього трикутника всі три висоти рівні.
  • У рівнобедреному трикутнику висота кута, протилежного основі трикутника, є медіаною і бісектрисою.

Властивості основ висот трикутника[ред.ред. код]

  • Основи висот утворюють так званий ортотрикутник, що володіє власними властивостями.
  • Описана навколо ортотрикутника коло - коло Ейлера. На цій окружності також лежать три середини сторін трикутника і три середини трьох відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника.
  • Інше формулювання останньої властивості:

Теорема Ейлера для кола дев'яти точок. Основи трьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін (основи його внутрішніх медіан) і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром,усі лежать на одному колі (на колі дев'яти точок).

  • Теорема. У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, відсікає трикутник подібний даному.
  • Теорема. У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, антирівнобіжний третій стороні, з якої він не має спільних точок. Через два його кінця, а також через дві вершини третьої згаданої сторони завжди можна провести окружність.

Інші властивості висот трикутника[ред.ред. код]

  • Якщо трикутник різносторонній, то його внутрішня бісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішніми медіаною та висотою, проведеними із тієї ж вершини.
  • Висота трикутника ізогонально спряженна діаметру (радіусу) описаного кола, проведеного з тієї ж самої вершини.
  • У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.
  • У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних данному.

Основні відношення[ред.ред. код]

  • ,
  • , де S - площа трикутника, a - довжина сторони трикутника, до якої проведена висота.
  • , де - добуток бічних сторін, R - радіус описаного кола
  • , де r - радіус вписаного кола.
  • , де S - площа трикутника.
  • , a - сторона трикутника до якої проведена висота .
  • Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи:

, де c - основа.

  • - висота в рівносторонньому трикутнику.

Теорема про висоту прямокутного трикутника[ред.ред. код]

Якщо висота в прямокутному трикутнику ABC довжиною h, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу довжиною c на відрізки m і n, відповідні катетам b і a, то виконуються такі рівності:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
  • Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
  • Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5