Висота трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Різні типи висот трикутника

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону, та перпендикулярний до неї.

Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, що містить протилежну сторону.

В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника. В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза площиною трикутника. В прямокутному трикутнику висотами співпадає з катетами цього трикутника.

Теорема про перетин висот трикутника[ред.ред. код]

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника. В гострокутному — всередині трикутника. В прямокутному трикутнику співпадає з вершиною прямого кута.

Ілюстрація доведення теореми про перетин висот трикутника
Доведення теореми про перетин висот трикутника

Розглянемо довільний трикутник і доведемо, що прямі , , , які містять його висоти, перетинаються в одній точці.

Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну протилежній стороні. Дістанемо трикутник . Точки , і є серединами сторін цього трикутника. Справді, і як протилежні сторони паралелограмів і , а тому точка є серединою стороною . Аналогічно точки та є серединами сторін та відповідно.

Крім того, як випливає з побудови, , і . Таким чином, прямі , , є серединними перпендикулярами до сторін трикутника , а тому перетинаються в одній точці як серединні перпендикуляри (відомо, що серединні перпендикуляри в довільному трикутнику перетинаються в одній точці).

Властивості висот рівнобедреного трикутника[ред.ред. код]

  • У рівностороннього трикутника всі три висоти рівні.
  • В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до його основи є одночасно і медіаною, і бісектрисою.
Висота в рівнобедреному трикутнику є одночасно і медіаною, і бісектрисою.
Висота в рівнобедреному трикутнику є одночасно і медіаною, і бісектрисою.
Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник (). Опустимо з вершини на основу висоту . Утворилося два прямокутних трикутники: та . Оскільки ці прямокутні трикутники мають спільний катет та конгруентні (рівні) гіпотенузи та (за умовою), то ці трикутники конгруентні за катетом та гіпотенузою (див. ознаки рівності трикутників). Звідси маємо, що й інші два катети в цих трикутників конгруентні між собою, тобто . Остання рівність означає, що висота в рівнобедреному трикутнику є також і медіаною цього трикутника. Також з конгруентності трикутників та випливає рівність відповідних кутів та . Звідси маємо, що висота є бісектрисою кута , оскільки вона ділить цей кут на два рівних кути.

  • Справедливе і обернене твердження: якщо висота є одночасно медіаною і бісектрисою, то трикутник рівнобедрений. Хоча достатньо вимагати, щоб висота була або медіаною, або бісектрисою, адже ці твердження випливають одне з одного.
Доведення.

Нехай висота трикутника є також і його медіаною. Тоді, за означенням медіани, . Тоді прямокутні трикутники та конгруентні за двома катетами, оскільки , а катет в них спільний. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, , а тому трикутник є рівнобедреним.

Нехай висота трикутника є також і його бісектрисою. Тоді, за означенням бісектриси, . Тоді прямокутні трикутники та конгруентні за спільним катетом та гострими кутами та . З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, , а тому трикутник є рівнобедреним.

  • Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник — рівнобедрений, причому рівними будуть сторони, на які опущено висоту.
Висоти, опущені на бічні сторони рівнобедреного трикутника, рівні між собою
Доведення.
І спосіб.

Нехай дано трикутник , та  — його висоти, причому . Тоді прямокутні трикутники та конгруентні за катетом та гострим кутом, оскільки для цих трикутників кут є спільним. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні, тобто , а тому трикутник є рівнобедреним.

ІІ спосіб.

Нехай дано трикутник , та  — його висоти, причому . Тоді прямокутні трикутники та конгруентні за катетом та спільною гіпотенузою . З конгруентності цих трикутників випливає, що і кути та конгруентні. А це є достатньою умовою, щоб трикутник був рівнобедреним.

  • Справедливе і обернене твердження: в рівнобедреному трикутнику висоти, опущені на бічні сторони, рівні між собою.
Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник (), та  — його висоти. За властивістю рівнобедреного трикутника, кути при основі рівні між собою, тобто . Тоді прямокутні трикутники та конгруентні за спільною гіпотенузою та гострим кутом. З конгруентності цих трикутників випливає, що і катети та конгруентні, тобто .

Властивості основ висот трикутника[ред.ред. код]

Основи висот утворюють так званий ортоцентричний трикутник, що володіє власними властивостями.

  • Описане навколо ортоцентричного трикутника коло є так званим колом Ейлера. На цьому колі окрім основ висот даного трикутника (вершин ортоцентричного трикутника) також лежать три середини сторін трикутника та три середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника (див. Коло дев'яти точок).
  • У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника (сторона ортоцентричного трикутника), відсікає трикутник подібний даному.
  • Висоти трикутника є бісектрисами відповідного йому ортоцентричного трикутника.
  • Вершини трикутника є центрами зовнівписаних кіл відповідного йому ортоцентричного трикутника.
  • Серед усіх трикутників, вершини яких по одній лежать на сторонах даного трикутника, ортоцентричний має найменший периметр.
  • У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралельний третій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінця та два кінці третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.

Інші властивості висот трикутника[ред.ред. код]

  • Якщо трикутник різносторонній, то його внутрішня бісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішніми медіаною та висотою, проведеними із тієї ж вершини, що рівносильно нерівності .
  • Висота трикутника ізогонально спряжена діаметру (радіусу) описаного кола, проведеного з тієї ж самої вершини, тобто прямі, що містять цей радіус та висоту є симетричними відносно бісектриси кута при цій же вершині.
  • Два трикутники конгруентні за трьома висотами.
  • У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних даному.

Основні відношення[ред.ред. код]

  • .
  • , де , , — сторони трикутника, а , , — висоти, опущені на відповідні сторони трикутника.
  • , де  — площа трикутника,  — сторона трикутника, до якої проведена висота, ,  — бічні сторони,  — радіус описаного кола.
  • , де  — радіус вписаного кола.
  • , де  — площа трикутника.
  • ,  — сторона трикутника до якої проведена висота (наслідок з попередньої формули).
  • Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, обчислюється за формулою , де  — основа рівнобедреного трикутника, а  — бічна сторона. Зокрема, коли трикутник рівносторонній, формула набуває вигляду , де  — сторона трикутника.

Теорема про висоту прямокутного трикутника[ред.ред. код]

Висота в прямокутному трикутнику.png

Нехай  — висота прямокутного трикутника , опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки та , які є проекціями катетів та на гіпотенузу відповідно. Тоді справедливі наступні рівності:

Доведення.

Трикутники , та подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що та . Також звідси випливає рівність .

З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що . Також звідси випливає рівність .

Оскільки та , то, помноживши між собою правді та ліві частини рівностей, одержимо .

Таким чином доведено всі чотири рівності.

Рівність можна переписати наступним чином: . Це означає, що довжина висоти прямокутного трикутника, опущеної з вершини прямого кута на гіпотенузу, є середнім геометричним довжин відрізків, на які ця висота ділить гіпотенузу.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
  • Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
  • Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5