Висота (теорія кілець)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Висота ідеалу — мінімум висот простих ідеалів, що містять даний ідеал. Висота \operatorname{ht} (\mathfrak{p}) простого ідеалу \mathfrak{p} в кільці R — найбільше число h (або \infty, якщо такого числа немає) таке, що існує ланцюг різних простих ідеалів

\mathfrak{p}_{0}= \mathfrak{p}_{1} \subsetneq \mathfrak{p}_{2} \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_{h}=\mathfrak{p}

Ковисота \operatorname{coht} (\mathfrak{p}) простого ідеалу \mathfrak{p} визначається як найбільше h, для якого існує ланцюг простих ідеалів

\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_{0}= \mathfrak{p}_{1} \subsetneq \mathfrak{p}_{2} \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_{h} \neq R

Висота простого ідеалу рівна корозмірності многовиду, що визначається ідеалом, а ковисота — розмірності цього многовиду. Висота і ковисота простого ідеалу пов'язані нерівністю

\operatorname{ht} (\mathfrak{p}) + \operatorname{coht} (\mathfrak{p}) \leq \operatorname{dim} R

де \operatorname{dim} R позначає розмірність Круля. Рівність досягається, наприклад, у разі, коли Rлокальне кільце Коена — Маколея .

Прості ідеали висоти 0 — це мінімальні прості ідеали. Існування в нетеровій області цілісності простих ідеалів висоти 1 встановлює теорема про головний ідеал: висота ненульового головного ідеалу рівна 1. Загальніший результат — теорема Круля, пов'язує висоту з числом твірних ідеала: у нетеровому кільці висота ідеала, породженого n елементами, не перевищує n, і навпаки: простий ідеал висоти n є мінімальним серед простих ідеалів, що містять деякі n елементів. Зокрема, в нетеровому кільці будь-який ідеал має скінченну висоту; відносно ковисоти це вже не так.

Джерела[ред.ред. код]