Внутрішня метрика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Внутрішня метрика — метрика простору, що визначається за допомогою функціоналу довжини, як інфімум довжин усіх шляхів (кривих), що з'єднують дану пару точок.

Означення[ред.ред. код]

Нехай задано топологічний простір і обраний клас деяких допустимих шляхів , що міститься в множині всіх неперервних шляхів в .

  • На просторі заданий функціонал довжини, якщо на множині задана функція , що ставить у відповідність кожному значення (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху .
  • Метрика на просторі називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок відстань між ними визначається формулою , де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки .

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Нехай  — дві довільні точки метричного простору і  — довільне додатнє число. Точка називається їх -серединою, якщо
  • Метричний простір називається геодезичним, якщо будь-які дві точки можна з'єднати найкоротшою.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо  — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок і будь-якого існує їх -середина. У випадку, коли метричний простір повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок і будь-якого існує їх -середина, то ця метрика внутрішня.
  • Повний метричний простір з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок і знайдеться крива довжини що з'єднує точки і . Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
  • Теорема Хопфа — Рінова: Якщо  — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини є компактними).

Література[ред.ред. код]

  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4