Внутрішня похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці внутрішньою похідною називається диференціювання порядку −1 на зовнішній алгебрі диференціальних форм на диференційовному многовиді. Внутрішня похідна залежить від векторного поля X і позначається ιXω або Xω.[1]

Означення[ред. | ред. код]

Внутрішня похідна для векторного поля X на многовиді M є оператором

для якого образом диференціальної p-форми ω є (p−1)-форма ιXω для якої

для всіх векторних полів X1, ..., Xp−1.

Хоча внутрішня похідна переважно застосовується для диференціальних форм, аналогічне означення також можна дати для коваріантних і змішаних тензорів.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Антисиметричність. Для довільної диференціальної форми ω (для інших типів тензорів властивість у загальному випадку невірна):
Для p-форми ω за означенням
  • На множині диференціальних форм подібно до того як для зовнішньої похідної dd = 0.
Для p-форми ω за означенням
і
  • Якщо β є p-формою, а γ — довільною диференціальною формою, то
Тобто внутрішня похідна задовольняє градуйоване правило Лейбніца.
Нехай є диференціальною q-формою. Тоді буде (p+q)-формою, а — (p+q-1)-формою. Нехай X2, ..., Xp + q є довільними векторними полями і позначатимемо також X = X1.
Тоді
За означенням зовнішнього добутку можна записати:
,
де пробігає множину таких перестановок, що і а позначає знак перестановки.
Зрозуміло, що для кожної такої або або і загальна сума є рівною сумі для перестановок першого типу і перестановок другого типу. Позначимо ці типи перестановок і Якщо для кожної позначити як відповідну перестановку чисел 2, ..., p + q одержану вилученням числа 1, то тоді також і і для типу знаки перестанок і є однаковими, а для типу маємо
Із цими позначеннями:
Загальна сума дає необхідний результат.
  • Для внутрішньої похідної, похідної Лі і будь-яких векторних полів , на множині коваріантних тензорів задовольняється рівність
Нехай є p-коваріантним тензором. Тоді для довільних векторних полів за означенням:
З іншого боку
Остаточно
Для випадку диференційовних функцій а також і що доводить необхідну рівність.
Для диференційовної p-форми (p > 0) і довільних векторних полів згідно означень:
З іншого боку:
Додаючи ці вирази одержуємо:

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Символ ⨼ є U+2A3C у Unicode

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, Translations of mathematical monographs, т. 201, AMS, ISBN 0-8218-1045-6