Впорядковане поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Впорядковане полеалгебраїчне поле, для всіх елементів якого визначено лінійний порядок, узгоджений з операціями поля. Найважливішими прикладами є поля раціональних і дійсних чисел. Термін вперше запропонував Еміль Артін у 1927 році.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай алгебраїчне поле, для його елементів визначено лінійний порядок (менше або дорівнює) і виконуються властивості:

  1. Узгодженість із додаванням: якщо , то для будь-якогоz: .
  2. Узгодженість із множенням: якщо і , то .

Тоді поле із визначеним порядком називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються додатними, а менші нуля — від'ємними.

Конструктивна побудова порядку[ред.ред. код]

Один із способів визначити в полі F лінійний порядок — виділити в ньому підмножину додатних чисел P, замкнуту щодо додавання і множення і для якої три підмножини , нуль і не перетинаються і разом утворюють розбиття всього поля.

Нехай таку множину P виділено. Позначимо (ця множина теж замкнута щодо додавання і множення) і визначимо лінійний порядок у F:

, якщо

Всі наведені вище аксіоми порядку тоді виконані.

Деякі властивості[ред.ред. код]

  • Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо додатний, то від'ємний, і навпаки.
  • У будь-якому впорядкованому полі і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
  • Однотипні нерівності можна додавати:
Якщо і , то .
  • Нерівності можна множити на додатні елементи:
Якщо і , то .
  • Характеристика упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому скінченне поле не може бути впорядкованим.
  • Поле допускає впорядкування тоді і тільки тоді, коли не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються формально дійсними полями. Зокрема ця властивість показує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим.
  • Найменшим впорядкованим полем є поле раціональних чисел, яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто ізоморфне йому раціональне поле міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається архімедовим.

Підполя і розширення полів[ред.ред. код]

  • Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
  • Розширення E впорядкованого поля k називається впорядкованим, якщо E — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду де

Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k:

  1. поле k є дійсно замкнутим,
  2. розширення k(i), де i2 = -1 є алгебраїчно замкнутим
  3. кожен додатний елемент з k є квадратом і кожен многочлен непарного степеня над k має корінь у k.

Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане алгебраїчне розширення.

Якщо k — впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення фундаментальної послідовності. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля k. Якщо k — архімедове поле, то це розширення є ізоморфним полю дійсних чисел.

Приклади[ред.ред. код]

  • Раціональні числа
  • Дійсні числа
  • Дійсні алгебраїчні числа
  • Поле дійсних раціональних функцій: , де многочлен и, . Впорядкуємо його наступним чином.
    • Дійсні константи (як многочлени нульового порядку) впорядковані традиційним чином.
    • Нехай , Будемо вважати, що дріб , якщо .
    • З визначення випливає, що многочлен є більшим, ніж будь-яка константа, тобто аксіома Архімеда для цього поля не виконується, поле є архімедовим.
  • Гіпердійсні числа — ще один приклад неархімедового поля.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.