Вузол (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Knot table.svg
Example of Knots.svg
Trefle.jpg

Вузол у математиці — вкладення кола (двовимірної сфери) в тривимірний евклідів простір, розглянуте з точністю до ізотопії. Основний предмет вивчення теорії вузлів. Два вузли топологічно еквівалентні, якщо один з них можна деформувати в інший, причому в процесі деформації не повинно виникати самоперетинів.

Частковим випадком є питання про розпізнавання тривіальності того чи іншого вузла, тобто про те, чи є заданий вузол ізотопним тривіальному вузлу (чи можна його розв'язати).

Для визначення того, чи є конкретний вузол тривіальним, можна використовувати різні інваріанти вузлів, наприклад многочлен Александера або фундаментальну групу доповнення. Зазвичай їх можна порахувати виходячи з вузлової діаграми.

Класифікація[ред. | ред. код]

Трилисник, вузол є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з числом перетинів 3. Він є простим і позначається номером 31 у нотації Александера — Бріггса. Нотація Довкера[en] для трилисника — 4 6 2, а нотація Конвея трилисника — [3].

Трилисник нетривіальний, тобто його неможливо «розв'язати» в тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний тривіальному вузлу. Зокрема, не існує послідовності рухів Рейдемейстера, за допомогою яких вузол розв'язується.

Вісімка, чотириразовий вузол або вузол Лістинга, вузол ― один з найпростіших нетривіальних вузлів. Вісімка позначається символом . Вперше розглянутий Лістингом[ru], учнем Гаусса, в 1847 році.

Трилисник хіральний в тому сенсі, що трилисник відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести у правобічний або навпаки. Тобто, ці два трилисники не ізотопні.

Також, можна показати, що трилисник (як правий, так і лівий) неізотопний вісімці.

П'ятилисник, відомий також як вузол у позначеннях Александера та Бріггса, вузол «перстач» і печатка Соломона, — це вузол, для якого число перетинів (мінімальне можливе число самоперетинів на діаграмі — плоскому малюнку — вузла) дорівнює п'яти.

Для багатокомпонентних вузлів у верхньому індексі зазначається кількість компонентів: наприклад, зачеплення двох кілець має символьний запис .

Це були приклади поліноміальних[1] вузлів. Неполіноміальним вузлом є дикий вузол[2]

Приклад дикого вузла.

Дикий вузол — вузол в евклідовому просторі такий, що не існує гомеоморфізму на себе, при якому переходить в замкнуту ламану, що складається зі скінченного числа відрізків.

Вузли та зачеплення[ред. | ред. код]

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми примірників кола в або називається зачепленням кратності .

Вузли, що входять до даного зачеплення, називають його компонентами.

Інваріанти вузлів[ред. | ред. код]

Докладніше: Інваріант вузла

В теорії вузлів число перетинів вузла — це найменше число перетинів на будь-якій діаграмі вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.

Наприклад, тривіальний вузол має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює трьом, а число перетинів вісімки дорівнює чотирьом.

Іншими числовими інваріантами вузла є число мостів, коефіцієнт зачеплення, число відрізків і число розв'язування.

Доповнення вузла[ред. | ред. код]

Докладніше: Доповнення вузла
6₂ Вузол

Теорема Гордона — Люкке[en] стверджує, що доповнення вузла (як топологічного простору) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до охоплювальної ізотопії[ru] та дзеркального відображення. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є група вузла, яка є просто фундаментальною групою його доповнення.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Armstrong, (1983), p. 215.
  2. Livingstone, (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.

Література[ред. | ред. код]