Відкрито-замкнута множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Приклади відкрито-замкнутих множин: (1) кожен з трьох великих графів, (2) сума будь-яких двох графіків, і (3) сума всіх трьох графіків

Відкрито-замкнута множина — підмножина топологічного простору, яка є в ньому водночас відкритою і замкнутою.

Приклади[ред. | ред. код]

  • У кожному топологічному просторі X, порожня множина і весь простір X є відкрито-замкнутими множинами.
  • Нехай простір X = [0,1] ∪ [2,3] буде оснащений топологією підпростору, успадкованою від звичайної топології дійсних чисел. Тоді простір X має такі відкрито-замкнуті підмножини: порожня множина, X , [0,1], [2,3].
  • Розглянемо топологічний простір раціональних чисел з топологією підпростору, успадкованою від дійсної прямої. Тоді множина є відкрито-замкнутою підмножиною . У більш загальному випадку, якщо інтервал кінці якого є ірраціональними числами, то є відкрито-замкнутою підмножиною (хоча ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою у просторі ) ,
  • Якщо є інтервалом кінці якого є раціональними числами то є відкрито-замкнутою підмножиною простору ірраціональних чисел (але ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою в ).

Властивості[ред. | ред. код]

  • Топологічний простір X є зв'язаним тоді і тільки тоді, коли єдиними відкрито-замкнутими підмножинами в X є порожня множина і весь простір X.
  • Відкрито-замкнута підмножина є об'єднанням компонент зв'язності простору.
  • Якщо у просторі всі компоненти зв'язності є відкритими то його підмножина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли вона є об'єднанням компонент зв'язності простору.
  • Множина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли її границя є порожньою.
  • Топологічний простір є дискретним тоді і тільки тоді, коли всі його підмножини є відкрито-замкнутими.
  • Набір Clop(X) всіх відкрито-замкнутих підмножин простору утворює алгебру підмножин цього простору. Зокрема, структура є булевою алгеброю.
  • Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр стверджує, що довільна булева алгебра ізоморфна з алгебрі відкрито-замкнутих підмножин деякого топологічного простору.

Джерела[ред. | ред. код]