Вільна абелева група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вільна абелева групаабелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
  • Для довільного кардинального числа існує вільна абелева група рангу .
  • Нехай — вільна абелева група і — абелева група. Якщо існує епіморфізм , то існує підгрупа групи ізоморфна групі така, що .
  • Будь-яка абелева група гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група має множину генераторів потужності то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу . Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
  • Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа цієї групи є вільною абелевою групою рангу і можна вибрати такий базис групи і натуральні числа що
    • Множина є базисом підгрупи
    • ділиться на для всіх

Приклади[ред.ред. код]

  • Група цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин .
  • Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина .

Література[ред.ред. код]