Гармонічний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

Обчислення[ред. | ред. код]

-ною частковою сумою гармонічного ряду називається -не гармонічне число:

Деякі значення часткових сум[ред. | ред. код]

Розбіжність ряду[ред. | ред. код]

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).

Доведення 1[ред. | ред. код]

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2[ред. | ред. код]

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна :

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

Винесемо із других дужок :

Замінимо вираз в других дужках на :

Перенесемо в ліву частину:

Замінивши сумою ряду одержимо:

Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3[ред. | ред. код]

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

Перейшовши до границі при одержуємо рівність:

.

Оскільки , то також має місце

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Пов'язані ряди[ред. | ред. код]

Знакопереміжний гармонічний ряд[ред. | ред. код]

Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).

Ряд

називається знакопереміжним гармонічним рядом. Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца, але не абсолютно збіжний. Його сума - логарифм від 2[en].[1]

Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π[2]

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

Зноски[ред. | ред. код]

  1. Freniche, Francisco J. (2010). On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series. The American Mathematical Monthly 117 (5): 442–448. JSTOR 10.4169/000298910x485969. MR 2663251. doi:10.4169/000298910X485969. 
  2. Soddy, F. (1943). The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for ). Proceedings of the Royal Society 182: 113–129. MR 9207. doi:10.1098/rspa.1943.0026.