Гармонічний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

Обчислення[ред.ред. код]

-ною частковою сумою гармонічного ряду називається -не гармонічне число:

Деякі значення часткових сум[ред.ред. код]

Розбіжність ряду[ред.ред. код]

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно біля 1043 елементів ряду).

Доведення 1[ред.ред. код]

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2[ред.ред. код]

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна :

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

Винесемо із других дужок :

Замінимо вираз в других дужках на :

Перенесемо в ліву частину:

Замінивши сумою ряду одержимо:

Ця рівність невірна оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3[ред.ред. код]

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

Перейшовши до границі при одержуємо рівність:

.

Оскільки , то також має місце

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Література[ред.ред. код]