Генератриса цілочисельної випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дискретну випадкову величину \xi яка приймає значення з множини Z^+ = \{0,1,\ldots \} будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями p_n = P\{ \xi = n \},\, n \in Z^+, де \sum_{n=0}^\infty p_n = 1.

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

\Psi_\xi(s) = M s^\xi\ (|s| \leq 1),

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

\Psi_\xi(s) = \sum_{n=0}^\infty p_n s^n,

яка очевидно збігається при |s| \leq 1.

Застосування в теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Якщо \xi — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: M[X] = \Psi'(1).

Дійсно,

\Psi'(s)=\sum_{n=1}^\infty n p_n s^{n-1}.

При підстановці s=1 отримаємо величину \Psi'(1)=\sum_{n=1}^\infty{n p_n}, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.


Якщо цей ряд розбігається, то\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty -- а X має нескінченне математичне очікування, P'(1)=M[X]=\infty

  • Тепер візьмемо твірну функцію Q(s) послідовності «хвостів» розподілу \{q_k\}
q_k=\mathbb{P}(X>j)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією P(s) властивістю: Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s} при |s|<1. З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

M[X]=P'(1)=Q(1)
  • Диференціюючи P'(s)=\sum_{k=1}^\infty{k p_k s^{k-1}} і використовуючи співвідношення P'(s)=Q(s)-(1-s)Q'(s), отримаємо:
M[X(X-1)]=\sum{k(k-1)p_k}=P''(1)=2Q'(1)

Для того, щоб отримати дисперсію D[X], до цього виразу треба додати M[X]-M^2[X], що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^2(1)=2Q'(1)+Q(1)-Q^2(1).

В випадку нескінченної дисперсії \lim_{s\to 1}P''(s)=\infty.