Генератриса цілочисельної випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дискретну випадкову величину яка приймає значення з множини будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями , де .

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

,

яка очевидно збігається при .

Застосування в теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Якщо — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: .

Дійсно,

.

При підстановці отримаємо величину , яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Якщо цей ряд розбігається, то -- а має нескінченне математичне сподівання,

  • Тепер візьмемо твірну функцію послідовності «хвостів» розподілу

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією властивістю: при . З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

  • Диференціюючи і використовуючи співвідношення , отримаємо:

Для того, щоб отримати дисперсію , до цього виразу треба додати , що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

.

В випадку нескінченної дисперсії .