Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину $\xi$ яка приймає значення з множини $Z^{+}=\{0,1,\ldots \}$ будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями $p_{n}=P\{\xi =n\},\,n\in Z^{+}$, де $\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}=1$.

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

$\Psi _{\xi }(s)=Ms^{\xi }\ (|s|\leq 1)$,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

$\Psi _{\xi }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}$,

яка очевидно збігається при $|s|\leq 1$.

Застосування в теорії ймовірностей

Якщо $\xi$ — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: $M[X]=\Psi '(1)$.

Дійсно,

$\Psi '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }np_{n}s^{n-1}$.

При підстановці $s=1$ отримаємо величину $\Psi '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }{np_{n}}$, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.

Якщо цей ряд розбігається, то$\lim _{s\to 1}P'(s)=\infty$ -- а $X$ має нескінченне математичне сподівання, $P'(1)=M[X]=\infty$

• Тепер візьмемо твірну функцію $Q(s)$ послідовності «хвостів» розподілу $\{q_{k}\}$

$q_{k}=\mathbb {P} (X>j)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.$

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією $P(s)$ властивістю: $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ при $|s|<1$. З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

$M[X]=P'(1)=Q(1)$

• Диференціюючи $P'(s)=\sum _{k=1}^{\infty }{kp_{k}s^{k-1}}$ і використовуючи співвідношення $P'(s)=Q(s)-(1-s)Q'(s)$, отримаємо:

$M[X(X-1)]=\sum {k(k-1)p_{k}}=P''(1)=2Q'(1)$

Для того, щоб отримати дисперсію $D[X]$, до цього виразу треба додати $M[X]-M^{2}[X]$, що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

$D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^{2}(1)=2Q'(1)+Q(1)-Q^{2}(1)$.

У випадку нескінченної дисперсії $\lim _{s\to 1}P''(s)=\infty$.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)