Геометрична ймовірність

Геометрична ймовірність — це поняття ймовірності, що запроваджується так: Нехай $\Omega$ — деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія $A$ — підмножина $\Omega$. Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: $P(A)={\frac {m(A)}{m(\Omega )}}$ де $m(A),\,m(\Omega )$ — довжина, площа чи об'єм множин $A$ та $\Omega$.

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з евклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?
• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?
• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?
• Та подібні…

Формально

Стохастичний експеримент полягає в обранні навмання точки з множини $B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. За його математичну модель прийнято розглядати ймовірнісний простір $\{B,{\mathfrak {B}}_{B}^{n},P\}$, де $B$ — борелева множина з $\mathbb {R} ^{n}$, ${\mathfrak {B}}_{B}^{n}$ — клас борелевих підмножин множини $B$, $P$ — ймовірність на класі ${\mathfrak {B}}_{B}^{n}$, яка для кожного $A$ з цього класу визначається рівністю:

$P(A)={\frac {L(A)}{L(B)}}$,

де $L$ — міра Лебега на $\mathbb {R} ^{n}$ (значення $L$ на паралелепіпедах $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]$, дорівнює $\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$).

Так визначену ймовірність назвемо геометричною (зрозуміло, що множина $B$ має задовольняти умову $0<L(B)<\infty$.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)

Посилання

1. УІТО: Теорія ймовірності та математична статистика — Термінологічний словник^{[недоступне посилання з травня 2019]}
2. Турчин В.М. (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.